Как найти абсолютную погрешность округления числа - AvtoShod.ru

Лабораторная работа №1

Методы оценки погрешностей

I. Описание работы

Тема: Методы оценки погрешностей приближенных величин.

Задание 1. Округляя точные числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

Дано:

Найти:

Решение:

— приближенное значение числа A

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: ;

Задание 2. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел по их относительной погрешности .

Дано:

Найти:

Решение:

Абсолютная погрешность:

Ответ:

Задание 3. Решить задачу.

При измерении длины с точностью до 5 м получено км, а при определении другой длины с точностью до 0.5 см, получено метров. Какое измерение по своему качеству лучше?

Дано: Км, М, М, См

Сравнить: и

Решение: Итак, по 1-му измерению, результат Км = М с точностью до М ( — абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

По 2-му измерению, результат Км с точностью до См =М ( — абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

Так как , то измерение можно считать по качеству лучше, чем .

Ответ: измерение по качеству лучше, чем .

Задание 4. а) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная абсолютная погрешность

Дано:

Найти:

Решение:

По определению, n первые значащие цифры являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда младшей цифры, считая слева направо.

Абсолютная погрешность: , поэтому значащие цифры 8 и 4 числа 0,00842 верны в узком смысле.

Ответ: число X имеет две верных цифры в узком смысле (8 и 4), то есть

Б) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная относительная погрешность .

Дано: %

Найти:

Решение:

Предельная абсолютная погрешность:

Только первая значащая цифра 1 числа A верна в узком смысле.

Ответ: число A имеет одну верную цифру в узком смысле (1), то есть

Задание 5. Найти предельные относительные погрешности, допускаемые при взятии вместо чисел 3.1, 3.14, 3.1416:

А) считая, что у них все записанные знаки являются верными;

Б) зная, что

Провести сравнения погрешностей и сделать необходимые выводы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

А) :

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

Б) Пусть (прервем запись числа на 7-м знаке после запятой и считаем полученное число точным значением числа ).

Тогда абсолютная погрешность первого представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность второго представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность третьего представления числа : %.

Относительная погрешность: %

Выводы:

1) Можно заметить, что , то есть ;

, то есть ;

, то есть

Иными словами, для трех чисел их «истинная» относительная погрешность ограничена предельной относительной погрешностью, определенной из условия верности знаков чисел. Причем, для каждого числа две оценки отличаются меньше, чем на порядок. Значит, предположение о верности всех знаков чисел Обосновано.

2) Сравнение относительных погрешностей чисел :

показывает,

Что числа Перечислены

В порядке увеличения точности представления числа ,

То есть точнее , точнее .

Ответ: а)

б)

Задание 6. Найти сумму приближенных чисел , , считая в них все знаки верными, т. е. что абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить абсолютную и относительную погрешности суммы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

1) Считаем, что в числах , , все знаки верны в узком смысле, то есть

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

2) Остальные числа округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления

3) Сложим все эти числа, учитывая все сохраненные знаки:

4) Полученный результат округлим на один знак (формально):

, абсолютная погрешность округления

5) Полную абсолютную погрешность суммы будем складывать из трех компонентов:

A) суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;

B) абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых;

C) заключительной погрешности округления результата.

— абсолютная погрешность суммы.

% — относительная погрешность суммы.

Ответ: ; %.

Задание 7. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема прямого кругового цилиндра, если значения его высоты и радиуса основания имеют все верные знаки.

Дано: ,

Найти:

Решение:

Примем

1) Так как в числах и все числа верны, то их абсолютные погрешности:

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

Число R округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления (округления не требуется)

2) перемножим числа, учитывая все сохраненные знаки:

3) Полученный результат округляем, сохраняя столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в числе H, то есть 2 значащих цифры:

;

Абсолютная погрешность округления

4) Полную абсолютную погрешность произведения будем складывать из двух слагаемых:

A) предельной абсолютной погрешности произведения до его округления;

B) заключительной погрешности округления произведения.

Абсолютную погрешность произведения до округления вычислим на основе предварительно найденной относительной погрешности произведения округленных сомножителей:

Полная абсолютная погрешность

Теперь перейдем к искомому объему.

(Здесь полученный результат округляем до трех значащих цифр).

— предельная абсолютная погрешность объема.

% — предельная относительная погрешность объема.

Ответ: , , %

Задание 8. Привести пример потери точности при вычитании двух близких чисел.

Решение:

Пусть и — два близких числа; примем, что у них одинаковое число знаков после запятой.

Считаем, что все знаки в числах и верны в узком смысле. Тогда абсолютные погрешности:

Относительные погрешности:

Так как , то

Абсолютная погрешность результата:

Относительная погрешность результата: %

При вычитании двух близких чисел и относительная погрешность возросла на 3 порядка!

Лабораторная работа №2

Метод Гаусса

I. Описание работы

Тема: Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений методом Гаусса (схема единственного деления).

Задание. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с точностью искомых неизвестных до .

Промежуточные вычисления вести с двумя запасными знаками.

Решение:

Исходные данные и все результаты вычислений запишем в таблицу 1.

Прямой ход

1. Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раздела 1 таблицы 1.

2. Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбце (столбец контроля), например .

3. Делим все числа, стоящие в первой строке, на и результаты записываем в 4-й строке раздела 1.

4. Вычисляем и делаем проверку, если вычисления ведутся с 6 и более знаками после запятой, то числа и не должны отличаться более, чем на единицу последнего разряда:

5. По формулам вычисляем коэффициенты :

Результаты записываем в первые две строки раздела:

6. Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки не должна отличаться от более, чем на 1-2 единицы последнего разряда. Заметим, что ,

7. Делим все элементы 1 строки раздела 2 на и результаты записываем в 3 строке раздела 2.

8. Делаем проверку:

9. По формулам вычисляем :

Результаты записываем в 1 строку раздела 3.

10. Делаем проверку:

11. Делим все элементы 1 строки раздела 3 на и результаты записываем в следующей (второй) строке этого раздела.

12. Делаем проверку:

Обратный ход

1. В разделе 4 записываем единицы

2. Записываем .

3. Для вычисления и используем лишь строки разделов, содержащие 1.

4. Вычислим по формуле: .

5. Вычислим по формуле:

6. Аналогично проводим обратный ход в контрольной системе. Записываем ,

вычисляем и с заменой и на и соответственно:

Делаем обычную проверку по строкам – должно быть , с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.

Действительно:

Заполним таблицу 1 результатами вычислений:

Таблица 1

Раз Дел
1	1 2 3
2	2 3
3	3
4		1 1 1	1	1

Округлим полученное решение до , по требованию задачи:

Окончательную проверку точности полученного решения системы выполним подстановкой этого решения в систему. Должно получиться приближенное тождество с точностью до .

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Элементы теории погрешностей Основные определения

Определение
1: Приближенным
числом a
называют число, незначительно отличающееся
от точного числа А
и заменяющее последнее в вычислениях.

Определение
2:
Округление
числа –
это приближенное представление числа
в некоторой системе счисления с помощью
конечного количества разрядов. Возникающую
при этом погрешность называют погрешностью
округления
или ошибкой округления. Округляют как
исходные данные задачи, так и полученные
результаты вычислений.

Правила округления чисел

Если первая из
отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся
десятичные знаки сохраняются, например:
25700203 25700200,
Если первая из
отброшенных цифр больше 5, то к последней
оставшейся цифре добавляется 1, например:
25700267 
25700300,
Если первая из
отброшенных цифр равна 5, а среди
остальных отброшенных цифр есть
ненулевые, то к последней оставшейся
цифре добавляется 1; например:
2575002 
2580000,
Если первая из
отброшенных цифр равна 5, а все остальные
отброшенные цифры равны нулю, то
действует правило
четной цифры:

если последняя
оставшаяся цифра четная, то она
сохраняется, например:
256500 
256000,
если последняя
оставшаяся цифра нечетная, то она
увеличивается на единицу, например:
257500 
258000.

Пример 1:
Пользуясь правилами округления чисел,
округлить:

1) до десятых долей:
73,47373,5;

2) до сотых долей:
73,47373,47.

Важное замечание.
Абсолютная погрешность округления по
правилам 14
не превосходит половины единицы разряда
последней оставленной цифры.

Типы погрешностей:

Исходные или
неустранимые.
К ним относятся погрешности, возникающие
в результате приближенного описания
реальных процессов и неточного задания
исходных данных, а также погрешности,
связанные с действиями над приближенными
числами. Эти погрешности проходят через
все вычисления и являются неустранимыми.
Погрешность
метода
(результат
замены бесконечных процессов конечной
последовательностью действий).
Погрешности округления Абсолютная и относительная погрешности (ап и оп)

Разность между
точным числом А
и его приближенным значением a
составляет ошибку или погрешность.

— приближенное
значение a
по недостатку,

— приближенное
значение a
по избытку.

Как правило, знак
ошибки нас не интересует, поэтому
пользуются абсолютной погрешностью.

Определение
3:
Абсолютная величина разности между
точным числом А
и его приближенными значениями а
называется абсолютной
погрешностью
приближенного числа а
и обозначается

Пример 2:
Пусть

Тогда абсолютная погрешность

Значение точного
числа А
всегда заключено в границах

Значение числа А
можно записать так:

По абсолютной
погрешности нельзя судить о том, насколько
точно или грубо произведено измерение
или вычисление, а именно, какую долю
в значении числа составляет погрешность
. В связи с этим вводится понятие
относительной погрешности.

Определение
4:
Относительной погрешностью
(ОП)

приближенного числа a
называется отношение абсолютной
погрешности

к модулю точного значения числа

т.е.

Так как точное
значение числа А,
как правило, неизвестно, то можно
воспользоваться формулой:

П той же причине
(А
неизвестно) вместо значений абсолютной
и относительной погрешности получают
их оценки
сверху,
котрые имеют вид:

и называются
верхними границами (или просто границами)
абсолютной и относительной погрешностей
соответственно.

В дальнейшем
мы будем пользоваться просто символами

и

,
имея в виду погрешности (если есть
возможность их найти) либо их оценки
сверху.

Пример
3:
Число 75,3
получено округлением. Оценить абсолютную
погрешность округления.

Решение:
Точное
значение числа неизвестно. Пользуясь
правилами округления чисел, можно
сказать, что абсолютная погрешность не
превышает (
)
0,05. Запишем это так: 75,3

или

.
В качестве границы абсолютной погрешности
берут по возможности наименьшее число.

Пример 4:
Пусть при измерении книги и длины стола
получены результаты

см и

см.

Найти относительную
погрешность измерения книги стола:

или 0,35%.

или 0,09%.

Таким образом,
измерение стола было произведено гораздо
точнее.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения
Систематическая и случайная погрешности
Определение абсолютной погрешности
Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
Значащие цифры и правила округления результатов измерений
Примеры

Причины возникновения погрешности измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Теоретическая погрешность

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

$$ Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$

Например:

При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:

$m_i,г$

98,4

99,2

98,1

100,3

98,5

$Delta m_i, г$

1,6

0,8

1,9

0,3

1,5

Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| le h $

Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.

Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений

Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение измеряемой величины $x_i, i = overline{1, N}$.

Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений:

$$ a = x_{cp} = frac{x_1+x_2+ cdots +x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N x_i $$

Шаг 3. Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

Шаг 4. Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей:

$$ Delta x_{cp} = frac{Delta x_1+ Delta x_2+ cdots + Delta x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N Delta x_i $$

Шаг 5. Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.

Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин:

$$ h = max {d; Delta x_{cp} } $$

Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде:

$$ a-h le x le a+h или x = a pm h $$

Значащие цифры и правила округления результатов измерений

Значащими цифрами – называют все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Например:

0,00501 — три значащие цифры 5,0 и 1.

5,01 — три значащие цифры.

5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001.

Внимание!

Правила округления.

Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу (округление по избытку, “ceiling”).

Округлять результаты измерений и вычислений нужно так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.

Например: если при расчетах по результатам серии измерений получена оценка истинного значения a=1,725, а оценка абсолютной погрешности h = 0,11, то результат записывается так:

$$ a approx 1,7; h approx ↑0,2; 1,5 le x le 1,9 или x = 1,7 pm 0,2 $$

Примеры

Пример 1. При измерении температура воды оказалась в пределах от 11,55 ℃ до 11,63 ℃. Какова абсолютная погрешность этих измерений?

По условию $11,55 le t le 11,63$. Получаем систему уравнений:

$$ {left{ begin{array}{c} a-h = 11,55 \ a+h = 11,63 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 \ 2h = 11,63-11,55 = 0,08 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 11,59 \ h = 0,04end{array} right.} $$

$$ t = 11,59 pm 0,04 ℃ $$

Ответ: 0,04 ℃

Пример 2. По результатам измерений найдите границы измеряемой величины. Инструментальная погрешность d = 0,1.

$x_i$

15,3

16,4

15,3

15,8

15,7

16,2

15,9

Находим среднее арифметическое:

$$ a = x_{ср} = frac{15,3+16,4+ cdots +15,9}{7} = 15,8 $$

Находим абсолютные погрешности:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

$ Delta x_i$

0,5

0,6

0,5

0,1

0,4

0,1

Находим среднее арифметическое:

$$ Delta x_{ср} = frac{0,5+0,6+ cdots + 0,1}{7} approx 0,31 gt d $$

Выбираем большую величину:

$$ h = max {d; Delta x_{ср} } = max⁡ {0,1; 0,31} = 0,31 $$

Округляем по правилам округления по избытку: $h approx ↑0,4$.

Получаем: x = 15, $8 pm 0,4$

Границы: $15,4 le x le 16,2$

Ответ: $15,4 le x le 16,2$

Пример 3*. В первой серии экспериментов было получено значение $x = a pm 0,3$. Во второй серии экспериментов было получено более точное значение $x = 5,631 pm 0,001$. Найдите оценку средней a согласно полученным значениям x.

Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} a-0,3 le x le a+0,3 \ 5,630 le x le 5,632 end{array} right.} Rightarrow a-0,3 le 5,630 le x le 5,632 le a+0,3 Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} a-0,3 le 5,630 \ 5,632 le a+0,3 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a le 5,930 \ 5,332 le a end{array} right.} Rightarrow 5,332 le a le 5,930 $$

Т.к. a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых:

$$ 5,3 le a le 5,9 $$

Ответ: $ 5,3 le a le 5,9 $

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2197.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2197.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Светлана Лобанова-Асямолова

10/10
Валерий Соломин

10/10
Анастасия Юшкова

10/10
Ксюша Пономарева

7/10
Паша Кривов

10/10
Евгений Холопик

9/10
Guzel Murtazina

10/10
Максим Аполонов

10/10
Olga Bimbirene

9/10
Света Колодий

10/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2197.

А какая ваша оценка?

Источник

Онлайн инструмент позволяет округлять любые большие числа и вычислять абсолютную и относительную погрешность.

Калькулятор позволяет округлять натуральные числа до целого, десятых, сотых, тысячных, а также дроби — до десятков, сотен, тысяч.

Онлайн калькулятор округления чисел

Округлить число:

Десятичный разделитель:

Запятая (,)
Точка (.)

очистить

Результаты округления

Округлим число: 123.62791

Точность	Число	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
до целого	124	0,37209	0,3010%
до десятых	123,6	0,02791	0,0226%
до сотых	123,63	0,00209	0,0017%
до тысячных	123,628	0,00009	0,0001%
до десятитысячных	123,6279	0,00001	≈ 0%
до стотысячных	123,62791	0	≈ 0%

Правила округления натуральных чисел

Округление целого числа производится заменой его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями:

Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.
Отделить все цифры справа от этого разряда вертикальной чертой.
Если справа от подчеркнутой цифры следует цифра менее 5, то эту цифру оставляем без изменений, а все последующие цифры заменяем нулями.
Если справа от подчеркнутой цифры следует цифра 5 или выше, то эту цифру увеличиваем на 1 и все последующие цифры заменяем нулями.

К примеру, округлим число 36972 до тысяч:

36|972 = 36⁺¹|000 ≈ 37000

Теперь, округлим число 36472 до тысяч:

36|472 = 36|000 ≈ 36000

Округлим число 7154 до сотен:

71|54 = 71⁺¹|00 ≈ 7200

Округлим число 961 до сотен:

9|61 = 9⁺¹|00 ≈ 1000

Округлим число 495 до десятков:

49|5 = 49⁺¹|0 ≈ 500

Правила округления десятичных дробей

Округление десятичных дробей производится аналогично округлению целых чисел с тем различием, что дробная часть, следующая после подчеркнутой цифры, отбрасывается. Знак округления чисел — ≈.

Округлим число 435,6278:

до целого числа — 435,6278 = 435⁺¹ ≈ 436

до десятых — 435,6278 ≈ 435,6

до сотых — 435,6278 = 435,62⁺¹ ≈ 435,63

до тысячных — 435,6278 = 435,627⁺¹ ≈ 435,628

Абсолютная погрешность округления числа

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

К примеру, округлим число 689 до целого 700 и вычислим абсолютную погрешность: 700 — 689 = 11

Второй пример — округлим число 43,578 до десятых 43,6 и посчитаем абсолютную погрешность: 43,6 — 43,578 = 0,022

Относительная погрешность округления числа

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу, выраженное в процентах.

Для подсчета относительной погрешности необходимо разделить значение абсолютной погрешности на округляемое число и результат умножить на 100.

Из первого примера относительная погрешность будет равна: 11 / 689 * 100 = 1,6 %

Второй пример: 0,022 / 43,578 * 100 = 0,05 %

Источник

Элементы теории погрешностей Основные определения

Правила округления чисел

Типы погрешностей:

Погрешности округления Абсолютная и относительная погрешности (ап и оп)

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения

Систематическая и случайная погрешности

Определение абсолютной погрешности

Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений

Значащие цифры и правила округления результатов измерений

Примеры

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Правила подсчета погрешностей

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка статьи

Онлайн калькулятор округления чисел

Результаты округления

Правила округления натуральных чисел

Правила округления десятичных дробей

Абсолютная погрешность округления числа

Относительная погрешность округления числа

Не пропустите также: