Как найдите тангенс угла наклона касательной

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Уравнение любой прямой в общем виде задается формулой:
$$y=kx+b;$$
Где (k) — это коэффициент наклона прямой, а (b) — свободный член.

Уравнение прямой в условии задачи выглядит так (y=-4). Сопоставьте это уравнение с общим видом прямой, и увидите, что у прямой из условия (k=0), а (b=-4).

Мы получили, что коэффициент наклона прямой из условия равен нулю! Значит у любой прямой, которая будет ей параллельна, коэффициент наклона тоже будет равен нулю. А раз коэффициент наклона ноль, то и производная тоже должна быть ноль.

Переформулируем условие задачи: необходимо найти на графике функции (f(x)) точки, в которых производная равна нулю.

Производная равна нулю в точках минимума и максимума: в «вершинах» и «впадинах». Нам остается только посчитать их количество на графике. Я их отметил красными точками:

Геометрический смысл производной

Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!

Рассмотрим график какой-то функции ( y=fleft( x right)):

Выберем на линии графика некую точку ( A). Пусть ее абсцисса ( {{x}_{0}}), тогда ордината равна ( fleft( {{x}_{0}} right)).

Затем выберем близкую к точке ( A) точку ( B) с абсциссой ( {{x}_{0}}+Delta x); ее ордината – это ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)):

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).

Обозначим угол наклона прямой к оси ( Ox) как ( alpha ).

Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол ( alpha )?

Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – ( 180{}^circ ), а минимально возможный – ( 0{}^circ ).

Значит, ( alpha in left[ 0{}^circ ;180{}^circ right)). Угол ( 180{}^circ ) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с ( 0{}^circ ), а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку ( C), чтобы прямая ( AC) была параллельна оси абсцисс, а ( BC) – ординат:

По рисунку видно, что ( AC=Delta x), а ( BC=Delta f).

Тогда отношение приращений:

Давай теперь уменьшать ( Delta x).

Тогда точка ( B) будет приближаться к точке ( A). Когда ( Delta x) станет бесконечно малым ( left( Delta xto 0 right)), отношение ( frac{Delta f}{Delta x}) станет равно производной функции в точке ( {{x}_{0}}).

Что же при этом станет с секущей?

Точка ( B) будет бесконечно близка к точке ( A), так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки ( A), но этого достаточно).

Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси ( displaystyle Ox) назовем ( varphi ). Тогда получится, что производная

( {f}’left( {{x}_{0}} right)underset{Delta xto 0}{mathop{=}},frac{Delta f}{Delta x}= {tg}varphi ),

то есть

Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

( y=kx+b).

За что отвечает коэффициент ( displaystyle k)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.

Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ( displaystyle Ox)!

То есть вот что получается:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k).

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?

Посмотрим: Теперь углы ( alpha ) и ( displaystyle varphi ) тупые. А приращение функции ( Delta f) – отрицательное.

Снова рассмотрим ( triangle ABC): ( angle B=180{}^circ -alpha text{ }Rightarrow text{ } {tg}angle B=- {tg}alpha ).

С другой стороны, ( {tg}angle B=frac{AC}{BC}=frac{-Delta f}{Delta x}).

Получаем: ( frac{-Delta f}{Delta x}=- {tg}alpha text{ }Rightarrow text{ }frac{Delta f}{Delta x}= {tg}alpha ), то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку ( displaystyle B) к точке ( displaystyle A), и секущая ( displaystyle AB) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке ( displaystyle A).

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:

Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k)

Это и есть геометрический смысл производной.

Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:

На рисунке изображен график функции ( displaystyle y=mathsf{f}left( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ( {{x}_{0}}).

Найдите значение производной функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).

Решение.

На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Таким образом, производная функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}) равна ( displaystyle 1,2).

Ответ: ( displaystyle 1,2).

Теперь попробуй сам.

Уравнение касательной к графику функций

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.

Предположим, у нас есть какая-то функция, например, ( fleft( x right)=left( {{x}^{2}}+2 right)). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке ( {{x}_{0}}). Например, в точке ( {{x}_{0}}=2).

Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?

Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты ( k) и ( b) в уравнении

( y=kx+b).

Но ведь ( k) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

( k={f}’left( {{x}_{0}} right)).

В нашем примере будет так:

( {f}’left( x right)={{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{prime }}=2x;)

Графически ( b) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь ( displaystyle x=0) во всех точках оси ( displaystyle Oy)):

Проведём ( BCparallel Ox) (так, что ( triangle ABC) – прямоугольный).

Тогда ( angle ABC=alpha )(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны ( displaystyle AC) и ( displaystyle BC)?

По рисунку явно видно, что ( BC={{x}_{0}}), а ( AC=fleft( {{x}_{0}} right)-b). Тогда получаем:

( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}alpha =frac{AC}{BC}=frac{fleft( {{x}_{0}} right)-b}{{{x}_{0}}}text{ }Rightarrow text{ }b=fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right)).

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

( y=kx+b={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot x+fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right);)

Пример:

Найди уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3) в точке ( {{x}_{0}}=3).

Решение:

На этом примере выработаем простой…

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №7. Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование

На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5. 

Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.  

Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.

P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».

Касательная к графикам функции в точке

Угол наклона прямой линии [y=k x+b] — это угол [a], который берет свой отсчет от положительного направления оси координат ox по направлению к прямой. Угол наклона может иметь значение как со знаком плюс, так и со знаком минус.

На расположенном рис.1 показана прямая и угол наклона относительно оси.

Для каждого угла наклона характерен угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент равен значению тангенса наклона заданной прямой линии: [k=operatorname{tg} alpha].

Основные значения угла наклона прямой

• Угол наклона прямой линии будет иметь нулевое значение, только в случае, когда параллельна ось Ox, и значение углового коэффициента равняется нулю. Потому что  [operatorname{tg} 0=0]. Следовательно уравнение прямой будет записываться следующим образом: [y=b].
• В случае, когда угол наклона будет острым, то должно выполняться два следующих условия: [0<alpha<frac{pi}{2}] или [0^{circ}<alpha<90^{circ}]. Отсюда следует, что значение углового коэффициента будет являться положительным значением. Потому что значение тангенса удовлетворяет следующему условию, где показатель тангенса больше нулевого значения: [t g>0]. При этом будет наблюдаться возрастание графика функции на протяжении всей координатной прямой.
• При условии, что угол [alpha=frac{pi}{2}], из этого следует, что прямая будет располагаться относительно оси Ox в перпендикулярном положении. Условие задается следующим равенством [x=c]. Где с — это простое действительное число.
• Если угол наклона прямой, является тупым, то будет применяться следующее условие: [frac{pi}{2}<alpha<pi] или [90^{circ}<alpha<180^{circ}] . Для данного случая характерно отрицательное значение углового коэффициента и убывание функции.

На графике показана секущая, которая обозначена красным цветом и точками А и В.

Если угловой коэффициент прямой линии равен тангенсу угла наклона, то используя прямоугольный треугольник можно найти значение тангенса. Сделать это можно вычислением по правилу: тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Чтобы определить значение секущий, нужно использовать следующую формулу:

[k=operatorname{tg} alpha=frac{B C}{A C}=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}}], где:

[chi_{B}, chi_{A}] — абсциссы точек А и В;

[fleft(chi_{B}right), fleft(chi_{A}right)] — значения функции, в заданных точках.

Значение секущий определяется, используя следующее неравенство:

[k=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}}] либо [k=frac{fleft(chi_{A}right)-fleft(chi_{B}right)}{chi_{A}-chi_{B}}]

Уравнение записывается следующим образом:

[k=frac{fleft(chi_{B}right)-fleft(chi_{A}right)}{chi_{B}-chi_{A}} cdotleft(chi-chi_{A}right)+fleft(chi_{A}right)]

[k=frac{fleft(chi_{A}right)-fleft(chi_{B}right)}{chi_{A}-chi_{B}} cdotleft(chi-chi_{B}right)+fleft(chi_{B}right)]

Пример:

Прямая задана следующей функцией: [y=x+1]. Данная функция считается касательной к графику [y=2 sqrt{x}] с координатными точками (1;2).

Рассмотрим графики со значениями (1;2). Функция обозначается черным цветом, а касательная линия соответственно синим цветом.

Чтобы определить касательную к функции, нужно исследовать поведение касательной АВ. При этом должно быть бесконечное приближение точки В к точке А.

Значение производной функции в точке и ее геометрический смысл

Для заданной функции [f(chi)] рассмотрим секущую АВ. Точки А и В заданы следующими значениями: [left(chi_{0}, fleft(chi_{0}right)right)] и [left(chi_{0}+Delta chi ,left(chi_{0}+Delta chiright)right.].

[Delta chi] — это показатель приращения значения аргумента.

Подставив все значения в исходную функцию получим следующий вид:

[Delta y=Delta f(chi)=fleft(chi_{0}+Delta chiright)-f(Delta chi)].

Для более лучшего восприятия решения, построим график.

Из графика видно, что образуется прямоугольный треугольник ABC. Составим соотношение [frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha], для этого необходимо применить основное определение тригонометрической функции, а именно тангенса.

Исходя из основного определения касательной, запишем следующее выражение:

[lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha_{x}]

Используя правило производной, имеем следующее:

• производная [f(x)] в точке [x_{0}] — является пределом отношения приращения функции к аргументу.
• [Delta_{chi} rightarrow 0 text { и } fleft(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}].

Следовательно:

[f^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=operatorname{tg} alpha_{x}=k_{z}]

[k_{z}] — это угловой коэффициент касательной функции.

Из данной функции можно сделать следующий вывод:

• функция [f(x)] может находится в точке со значением [x_{0}]
• функция может быть касательной к графику в некой точке касания, где угловой коэффициент равняется производной.

Понятие уравнения касательной прямой

Чтобы составить уравнение прямой, нужно знать угловой коэффициент с заданной точкой. Это точка, через которую проходит прямая. При пересечении угловой коэффициент записывается как значение [x_{0}].

Уравнение касательной записывается следующим образом:

[y=f^{prime}left(x_{0}right) cdotleft(x-x_{0}right)+fleft(x_{0}right)]

График функции [y=f(x)].

Расположение касательной прямой непосредственно зависит от значения углового коэффициента. Если прямая параллельна оси Ox, то значение коэффициента равно нулевому значению. При параллельном расположении относительно оси Oy, коэффициент угловой принимает значение бесконечности. При это уравнение касательной записывается как: [x=x_{0}].Также угловой коэффициент будет возрастать при значении больше нуля, а если коэффициент меньше нуля, то функция соответственно будет убывать.

Касательная линия к окружности

Для того чтобы задать окружность с центром в следующих точках:

[text {(Xcenter;Ycenter)}] и радиусом R, нужно воспользоваться формулой.

[(x-x_{center})^2+(y+y_{center})^2=R^2]

Данное выражение можно представить как две функции:

[y=sqrt{R^{2}-(x-x_{center})^2+y_{center}}] [y=-sqrt{R^{2}-(x-x_{center})^2+y_{center}}]

Из рисунка видно, что первая функция расположена в верхней части координатной плоскости. Вторая функция, соответственно в нижней части.

Чтобы составить уравнение окружности в точке, которая находится в верхней или нижней полуокружности, нужно составить уравнение для графика функции следующего вида:

[y=sqrt{R^{2}-left(x-x_{text {center }}right)^2 +y_{text {center }}}] и [y=-sqrt{R^{2}-left(x-x_{c e n t e r}right)+y_{c e n t e r}}], для конкретной точки.

Если в точках (x_center;y_center +R) и (x_center;y_center -R) касательные к окружности задаются выражением [y=y_{text {center }}+R ] и [y=y_{text {center }}-R], то они будут параллельны оси Oy. Из этого следует следующее уравнение [x=x_{text {center }}+R] и [x=x_{text {center }}-R].

Касательная к геометрической фигуре эллипс

Геометрическая фигура эллипс может быть задана следующей функцией:

[frac{left(x-x_{text {center }}right)^2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right)^2}{b^{2}}=1]

Данное уравнение можно применять при следующих условиях:

• эллипс имеет в центре следующие точки: x_center; y_center
• a и b — это значение полуосей.

Используя два вида функций можно обозначить эллипс и окружность:

[y=frac{b}{a} cdot sqrt{a^{2}-left(x-x_{text {center }}right)+y_{text {center }}}]

[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{a^{2}-left(x-x_{text {center }}right)+y_{text {center }}}]

Касательная к гиперболе. Основные функции

Чтобы составить уравнение касательной к геометрической фигуре гипербола, нужно применять основной алгоритм решения задач подобного типа.

Для гиперболы будет характерно следующее неравенство:

[frac{left(x-x_{text {center }}right)^2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right)^2}{b^{2}}=1]

При этом должны выполняться следующие условия:

• центр в точке x_center;y_cente
• вершины точки (x_center+ [a]; y_center) и (x_center-[a]; y_center)

Если вершины имеют значения: (x_center;y_center+b) и (x_center;y_center-b), то функция задается следующим образом: [frac{left(x-x_{text {center }}right) 2}{a^{2}}+frac{left(y-y_{text {center }}right) ^2}{b^{2}}=-1].

Гиперболу можно определить, используя две пары уравнений, которые записываются в следующем виде:

[y=frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}-a^{2}+y_{text {center }}]

[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}-a^{2}+y_{text {center }}]

или

[y=frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right) ^2+a^{2}}+y_{text {center }}]

[y=-frac{b}{a} cdot sqrt{left(x-x_{text {center }}right)^2}+a^{2}+y_{text {center }}]

Для первых уравнение характерно параллельное расположение касательной относительно оси Oy. Соответственно для второй пары уравнений: параллельное расположение относительно оси Ox.

Касательная к параболе. Основные правила решения

Используя стандартный алгоритм решения, можно составить уравнение касательной к параболе [y=a x^{2}+b x+c] в точках [left(x_{0}, yleft(x_{0}right)right)]. Данное уравнение после преобразования будет иметь следующий вид:
[y=y^{prime}left(x_{0}right) cdotleft(x-x_{0}right)+yleft(x_{0}right)].

Необходимо задать параболу [x=a y^{2}+b y+c] как общая функция двух уравнений. Затем решить уравнение относительно оси Oy.

[x=a y^{2}+b y+c Rightarrow a y^{2}+b y+1-x=0;\D=b^{2}-4 a(c-x)\y=frac{-b+sqrt{b^{2} 4 a(c-x)}}{2 a};\y=frac{-b-sqrt{b^{2} 4 a(c-x)}}{2 a}.]

Чтобы определить принадлежность заданных точек [left(x_{0}, yleft(x_{0}right)right)], необходимо руководствоваться стандартным решением согласно алгоритма. Данная касательная будет иметь параллельное расположение относительно параболы.