Как через диагональ куба найти его сторону

Диагональ стороны куба является диагональю квадрата, который представляет собой грань куба. Исходя из этого, ребро куба может быть вычислено по формуле отношения диагонали стороны куба к корню из двух.
a=d/√2

Тогда площадь стороны куба, равная квадрату его ребра, будет рассчитываться как квадрат диагонали, деленный на два. Чтобы вычислить площадь боковой и полной поверхности куба, необходимо умножить полученное выражение на 4 или 6 соответственно.
S=a^2=d^2/2
S_(б.п.)=4a^2=(4d^2)/2=2d^2
S_(п.п.)=6a^2=(6d^2)/2=3d^2

Чтобы вычислить объем куба, нужно возвести его ребро в третью – кубическую – степень, для этого все выражение, полученное для ребра куба через диагональ его стороны, возводится в степень.
V=a^3=(d/√2)^3=d^3/(2√2)

Периметр куба равен ребру куба, умноженному на двенадцать. Подставив вместо ребра куба выражение через диагональ и сократив коэффициенты, получим следующую формулу для периметра:
P=12a=12d/√2=6√2 d

Диагональ куба через диагональ его стороны можно найти, используя теорему Пифагора, согласно которой квадрат диагонали куба равен сумме квадратов диагонали стороны и бокового ребра, соединенных в прямоугольный треугольник. (рис.2.1.)
a^2+d^2=D^2
D^2=d^2/2+d^2
D^2=(3d^2)/2
D=√(3/2) d

Чтобы вычислить радиус сферы, вписанной в куб, необходимо разделить на два ребро куба, то есть разделить на два корня из двух диагональ его стороны. Радиус сферы, описанной вокруг куба, в свою очередь равен половине диагонали куба, вместо которой также можно использовать полученное через диагональ стороны выражение. (рис.2.2.,2.3)
r=a/2=d/(2√2)
R=D/2=(√(3/2) d)/2

Длина ребра куба

Чтобы найти длину ребра куба воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Длина ребра куба через объём

Длина ребра куба через диагональ

Длина ребра куба через площадь поверхности куба

Теория

Как найти ребро куба зная его объём

Как найти ребро куба зная его диагональ

Как найти ребро куба через площадь поверхности

См. также

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

• Вершины куба – это точки, являющиеся вершинами его граней.
  Всего их 8: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁ и D₁.
• Ребра куба – это стороны его граней.
  Всего их 12: AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁ и A₁D₁.
• Грани куба – это квадраты, из которого состоит фигура.
  Всего их 6: ABCD, A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, BB₁C₁C, CC₁D₁D и AA₁D₁D.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

• ABCD || A₁B₁C₁D₁
• AA₁B₁B || CC₁D₁D
• BB₁C₁C || AA₁D₁D

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

• AC₁ = BD₁ = A₁C = B₁D (диагонали куба).
• О – точка пересечения диагоналей:
  AO = OC₁ = BO = OD₁ = A₁O = OC = B₁O = OD.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA₁B₁B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

• a – ребро куба;
• d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.