Информатика как найти сколько путей

Автор — Лада Борисовна Есакова.

Подсчет путей в ориентированном графе. ЗАДАЧА № 15.

В этой задаче требуется подсчитать количество путей, ведущих из одной вершины графа в другую. Обычно задачу решают преобразованием графа в дерево. Однако, при сложной структуре графа такое решение становится очень трудоемким. Велика вероятность ошибки.

Рассмотрим простой и эффективный способ решения.

В этой задаче мы имеем дело с ориентированным графом (графом, у которого ребра имеют направление). Т.е. ребра имеют вид стрелок. Две вершины, соединенные напрямую стрелкой, называются смежными. Вершина, из которой выходит стрелка, называется предком, а вершина, в которую входит стрелка – потомком.

Несложно понять, что количество путей, которыми можно попасть в некоторую вершину, равно сумме количеств путей предков этой вершины.

Пример:

На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

Решение:

Каждой вершине, начиная с начальной (A), поставим в соответствие индекс, равный количеству путей, которыми можно попасть в эту вершину. Для вершины A (начало пути) индекс всегда равен 1 (в начало пути можно попасть единственным образом – никуда не двигаясь). Теперь сформулируем правило: индекс вершины равен сумме индексов его предков. Исходя из этого индекс Б равен 1 (предок у Б один – вершина A).

У вершины Д предками являются А и Б, значит индекс вершины Д равен 1+1=2.

Очевидно, что мы можем посчитать индекс только тех вершин, индексы предков которых уже посчитаны. Например, мы не можем посчитать индекс Г, пока не посчитан индекс В. Двигаясь последовательно, мы рассчитаем индексы всех вершин.

Индекс вершины Ж и будет ответом задачи.

Ответ: 11

Введение

Если G является неориентированным графом, то путём в графе G будет такой конечный или бесконечный набор последовательных рёбер и вершин S = (…, a0, E0, a1, E1, …, En-1, an), для которого пара соседних рёбер Ei и Ei-1 обладают общей вершиной ai. То есть справедливы следующие выражения E0 = (a0, a1), E1 = (a1, a2), …, En = (an, an+1)

Следует заметить, что возможна неоднократная встреча с одним и тем же ребром при прохождении путевого маршрута. В случае, когда нет рёбер, которые предшествуют E0, то a0 считается исходной вершиной S. А когда не существует рёбер, которые идут за E(n-1), то an считается последней вершиной S. Все вершины, которые принадлежат паре соседних рёбер, считаются внутренними.

Следует заметить, что поскольку возможно повторение рёбер и вершин при прохождении путевого маршрута, то внутренняя вершина может быть, как начальной, так и конечной вершиной.

При совпадении начальной и конечной вершин, путь считается циклическим. В случае, когда каждое ребро графа при обходе путевого маршрута, попадается всего один раз (повтор вершин допускается), такой путь считается цепью, а циклический путь считается циклом.

Путь, при котором нет рёбер графа, соединяющих две вершины пути, носит название индуцированного пути. Пара путей считается независимой в смысле вершин, когда у них нет одинаковых внутренних вершин. И по аналогии пара путей считается независимой в плане рёбер, когда у них нет общих внутренних рёбер.

Количество путей в графе

В случае, когда в город S возможно доехать лишь из городов X, Y, и Z, то количество разнообразных путевых маршрутов из города А в город S равняется суммарному количеству разных путей движения из А в Х, из А в Y и из А в Z, что можно выразить следующей формулой:

$N_S = N_X + N_Y + N_Z$

Обозначим как NM количество путевых маршрутов из вершины А в некую вершину М. Количество путей будет конечным, если в графе отсутствуют замкнутые пути, то есть циклы. Рассмотрим конкретный пример. Имеется структурная схема дорог, которые соединяют города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л. Передвижение по всем дорогам возможно только в одну сторону, в которую указывает стрелка. Необходимо определить количество возможных путей из города А в город Л.

Обозначим как $N_X$ число разных маршрутов из города А в город Х. Считаем, что город А является исходным пунктом путевого маршрута, и, следовательно, NA = 1. А для произвольно выбранного города Х число путей $N_X$ возможно определить по формуле:

$N_X = N_Y + … + N_Z$.

Здесь суммарный путь принят по всем вершинам, имеющим прямую связь с вершиной Х, то есть, к примеру:

$N_Л = N_Д + N_И + N_Ж + N_К$

Сформируем таблицу, где каждому городу сопоставлено общее число прямых маршрутов в этот город. Вычислим общее число путей из начальной точки маршрута, города А.

В пункты Б и В ведут единственные дороги из А. В пункт В можно попасть из пунктов А, Б, и Г, т.е. $N_В = N_А + N_Б + N_Г = 3$.

В пункт Е можно попасть только из Г, количество путей равно количеству путей в пункт Г. В пункт Ж ведут прямые пути из пунктов Е и В, т.е. $N_Ж = N_В + N_Е = 4$. В пункт Д ведут прямые пути из пунктов Б и В, т.е. $N_Д = N_В + N_Б = 4$.

В пункт И можно попасть только из Д, количество путей равно количеству путей в пункт Д = 4. В пункт К ведет путь только из пункта Е, т.е. $N_К = N_Е = 1$. В пункт Л ведут прямые пути из пунктов Д, И, Ж и К, т.е. $N_Л = N_Д + N_И + N_Ж + N_К = 13$.

Итоговый результат тринадцать путей.

ОГЭ

задание №9

поиск количества путей

·        
Задача 1
На рисунке – схема дорог, связывающих города A, B, C, D, E, F, G, H.
По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном
стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в
город H?

  

 Решение
(вариант 1):

Строим
граф, начиная с города А

Считаем
количество H (город,
до которого нужно добраться)

Ответ:
13

Решение
(вариант 2):

Решаем
с конца.

В
Н можно попасть из C D G             
H=C+D+G

C=A+D                                                 
С=   1+3

D=A+E                                                 
D=   1+2

G=D+E+F                                            
G=   3+2+1

E=A+B                                                
H=4+3+6 =13

F=B                                                      
Ответ: 13

B=A

A=1

·        
Задача 2

На
рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж и К.
По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном
стрелкой.
Сколько существует различных путей из города А в
город К, проходящих через город В?

 Решение
(вариант 1):

Строим
граф, начиная с города А

Ответ: 10

Решение
(вариант 2):

Решаем
с конца. Нам не нужны дороги, не проходящие через В, это ВД и АГ (их мы считать
не будем)

К=Д+Е+Ж

Д=В=2

Е=В+Д=2+2

Ж=В+Г=2+2

В=Б+А=1+1

Г=В=2

Б=А=1

К=Д(2)+Е(4)+Ж(4)=10         
Ответ: 10