Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.
1. Формула средней линии трапеции через основания
b — верхнее основание
a — нижнее основание
m— средняя линия
Формула средней линии, (m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
b — верхнее основание
a — нижнее основание
α, β — углы трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
α, β — углы между диагоналями
d1 , d2 — диагонали трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы средней линии трапеции, (m ):
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
S — площадь трапеции
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формула средней линии трапеции, (m):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 24 сентября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Средняя линия трапеции
Это отрезок, который соединяет середины 2 боковых сторон трапеции. Существует несколько способов (формул), позволяющих узнать, чему равна средняя линия.
Рассмотрим некоторые из них.
Как найти среднюю линию трапеции через основания
Если известно, чему равны основания трапеции, то среднюю линию найти совсем не сложно.
Она будет равна полусумме оснований.
EF = (AB + CD) / 2.
Например, если основание AB = 10 см, а основание CD = 6 см, то средняя линия равна (10 + 6) / 2 = 8 см.
Как найти среднюю линию трапеции через площадь и высоту
По классической формуле, площадь трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту. А полусумма оснований и есть средняя линия.
Поэтому, если площадь S = EF * DH, то средняя линия EF = S / DH.
Например, если площадь трапеции равна 30 кв. см, а высота — 6 см, то средняя линия = 30 / 6 = 5 см.
Как найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и угол между ними
Если неизвестна площадь трапеции, но известны диагонали и угол между ними, то можно воспользоваться одной из формул нахождения площади.
А после этого подставить полученное значение в формулу, позволяющую найти среднюю линию через площадь и высоту.
Если даны диагонали d1 и d2, а также угол между ними (например, γ), то S = 0,5 * d1 *d2 * sinγ.
Подставим это в формулу нахождения средней линии: EF = S / DH = (0,5 * AC * BD * sinγ) / DH = AC * BD * sinγ / 2DH.
Например, высота = 6 см, диагонали — 8 и 10 см, угол между ними — 30 градусов.
EF = (8 * 10 * 0,5) / (2 * 6) = 40 / 12 = 3,33 см.
Средняя линия трапеции
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
Мы снова затронем тему трапеций (что это?).
И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.
Средняя линия – это…
Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.
Средняя линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны, и который делит их ровно на две одинаковых части.
Средняя линия есть практически у каждой геометрической фигуры. Например, у четырехугольников она выглядит вот так:
А вот так у треугольников:
И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:
На данном рисунке показана трапеция ABCD. Если кто забыл, то у такой фигуры две противоположные грани расположены на параллельных прямых.
Они называются основаниями. А оставшиеся стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, это боковые.
Так вот в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит боковые стороны АВ и СD на две половинки. То есть:
AE = EB и СF = FD
Как найти среднюю линию трапеции (формула)
Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.
Так, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, поделенной на два. Или, другими словами, половине суммы оснований.
Возьмем для примера трапецию:
И тогда формула расчета будет выглядеть так:
Если есть желание доказать правдивость этой формулы, нужно несколько дорисовать нашу изначальную фигуру. А именно провести линию через В и L, а также продлить сторону АD. И сделать так, чтобы эти две линии пересеклись.
В итоге получится вот что:
Далее нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Необходимо доказать, что они имеют равные размеры.
И это просто, так как у них одинаковы углы:
- BLC и QLD – как вертикальные;
- BCL и QDL – как лежащие накрест при имеющихся параллельных прямых и секущей.
Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.
DLQ = BLC
А уже из этого следует, что ВL и LQ равны. А значит, КL является не только средней линией трапеции, но также и аналогичной линией для треугольника ABQ.
А дальше уже совсем просто, так как есть специальная формула для расчета средней линии треугольника. Она равна одной второй (половине) длины параллельной стороны:
KL = 1/2AQ
Длина стороны AQ у нас равна AD + DQ (или ВС). И таким образом мы и получаем ту самую формулу расчета средней линии трапеции:
KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)
Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.
Свойства средней линии трапеции
У средней линии трапеции есть три главных свойства:
- Она параллельна основаниям трапеции;
- Она равна полусумме оснований (та самая формула, о которой мы только что рассказывали);
- Она разбивает исходную трапецию на две более маленькие по площади. Причем их площади имеют вполне конкретное соотношение друг к другу. А именно:
S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)
Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.
Вторая средняя линия
Внимательный читатель мог бы заметить, что мы рассказывали до этого только про одну среднюю линию. Ту, что лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.
И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:
В нашем случае, это отрезок KL.
Интересно, что эту среднюю линию крайне мало изучают во время школьного обучения. И на экзаменах нет задач, с ней связанных. Хотя у нее есть несколько интересных свойств:
- Диагонали трапеции и эта средняя линия пересекаются в одной точке;
- Та прямая, частью которой эта линия является, пересекается в единой точке с теми прямыми, которые совпадают с боковыми сторонами;
- В равнобокой трапеции (у которой боковые стороны идут под одним углом) средняя линия пересекает основания под углом в 90 градусов;
- В точке, в которой пересекаются две средние линии, они делятся пополам…
Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.
Как найти среднюю линию трапеции
Содержание:
- Средняя линия трапеции – что это?
- Свойства
-
Как вычислить, основные формулы
- Через основания
- Через основание, высоту и углы при нижнем основании
- Через диагонали, высоту и угол между диагоналями
- Через площадь и высоту
- Примеры задач
Средняя линия трапеции – что это?
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Свойства
- Параллельна обоим основаниям трапеции.
- Вычисляется как половина суммы оснований.
- Разбивает трапецию на две, площади которых соотносятся как (frac{S_1}{S_2}=frac{3,BC+AD}{BC+3,AD})
Как вычислить, основные формулы
Через основания
(m=frac{a+b}2)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Через основание, высоту и углы при нижнем основании
(m=a-htimesfrac{ctgalpha+ctgbeta}2)
(m=b+htimesfrac{ctgalpha+ctgbeta}2)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы при нижнем основании.
Через диагонали, высоту и угол между диагоналями
(m=frac{d_1d_2}{2h}timessinalpha=frac{d_1d_2}{2h}timessinbeta)
Где (a) – нижнее основание, (b) – верхнее, (m) – средняя линия, (h) – высота, (alpha,beta) – углы между диагоналями, (d_1), (d_2) – диагонали трапеции.
Через площадь и высоту
(m=frac{{}_S}h)
Где (h) – высота трапеции, (m) – средняя линия, (S) – площадь.
Примеры задач
Задача 1
Найдите площадь трапеции, если большее основание равно 18, меньшее 6, боковая сторона равна 7. Угол между боковой стороной и одним из оснований 150 градусов.
(angle ABC) и (angle BAH) односторонние (Rightarrow angle ABC+angle BAH;=;180^circ Rightarrow angle BAH;=;30^circ)
Рассмотрим (angle ABH)
(BH=frac12AB=3,5)
(S_{ABCD}=frac{AD+BC}2times BH=frac{6+18}2times3,5=42)
Ответ: 42
Задача 2
Основания трапеции равны 4 и 10. Чему равен больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей?
Средняя линия трапеции ABCD так же является средней линией треугольников ABC и ACD т.к. проходит через середину одной стороны и параллельна основанию. Значит, из треугольника ACD x = 5.
Ответ: 5
Задача 3
ABCD – трапеция, BC = 2, AD = 3, PQ – средняя линия, BD и AC – диагонали. Найти MN.
(PQ=frac{BC+AD}2=2,5)
Отрезок MN лежит на средней линии трапеции. Докажем: PM и NQ средние линии треугольников ABC и BCD, значит M и N середины соответственно AC и BD. Из треугольника ABC находим длину PM = 1, из треугольника BCD находим NQ = 1, следовательно MN = 2,5 — 1 — 1 = 0,5
Ответ: 0,5
Что нужно знать о средней линии трапеции — основные сведения
Содержание:
- Средняя линия трапеции – что это
- Признаки и свойства средней линии трапеции
- Формулы для нахождения длины средней линии для разных видов трапеции
- Примеры решения задач на данную тему
Средняя линия трапеции – что это
Трапеция — это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Особенностью данного четырехугольника является то, что никакие три из четырех точек, из которых он состоит, не лежат на одной прямой.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие — боковыми сторонами.
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны друг другу (рис.1).
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины боков фигуры, т.е. боковых сторон.
Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.
Периметр трапеции — это сумма всех сторон трапеции, то размера боковых сторон трапеции и двух оснований.
Признаки и свойства средней линии трапеции
Теорема 1
Средняя линия трапеции равна половине сумм длины двух оснований
Доказательство
Для доказательства теоремы, которая показывает нам как найти среднюю линию трапеции, сначала посмотрим свойства трапеции.
Признак 1
Признак средней линии трапеции №1
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Формула 1
(MN;=;frac{BC+AD}2), где MN — средняя линяя, BC, AD — основания трапеции, при условии MNparallel ADparallel BC
Признак 2
Признак средней линии трапеции №2
Средняя линяя трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции (рис.2)
Признак 3
Признак средней линии трапеции №3
Средняя линяя трапеции делит ее на две трапеции, площадь которых соотносятся следующим образом:
Формула 2
(frac{S_{ABCD}}{S_{LBCM}}=frac{4(BC;+;AD)}{3BC;+;AD})
Формула 3
(frac{S_{ABCD}}{S_{ALMD}}=frac{4(BC;+;AD)}{3AD;+;BC})
Формула 4
(frac{S_{LBCM}}{S_{ALMD}}=frac{3BC;+;AD}{3AD;+;BC})
Таким образом, доказательство данной теоремы основано на свойствах средней линии трапеции. И для ее доказательства нужно продлить нижнее основание AD и провести отрезок BK до пересечения этого отрезка с продленным нижнbм основанием. Из свойств трапеции следует, что образованные треугольники BMC и MKD равны, откуда следует, что MC = DK.
LM — средняя линяя треугольника BKA, следовательно, по определению средней линии треугольника (LMparallel AD) и LM = 0.5AK, при этом AK = AD+DK.
Подставляя, получаем, что LM = 0.5*(AD+DK). Из свойства помним, что DK = BC, отсюда получаем LM = 0.5*(AD+BC), то есть средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим существующие свойства трапеций, которые применимы для любого вида трапеций.
Свойство 1
Сумма углов трапеции, прилежащих к одной и той же боковой стороне в сумме дают всегда 180°.
Свойство 2
Средняя линяя трапеции параллельна ее основаниям и равна половине их суммы.
Свойство 3
Отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции и равняется половине разности оснований (рис.3), где KL — отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD, KL лежит на средней линии трапеции MN.
Свойство 4
Точки пересечения диагоналей трапеции, продолжений ее боковых сторон и середин оснований лежат на одной прямой (Рис.4), где DK — продолжение боковой стороны CD, AK — продолжение боковой стороны AB, E — середина основания BC, т.е. BE = EC, F — середина основания AD, т.е. AF = FD.
Свойство 5
Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (при основаниях) подобны, а два других (при боковых сторонах) равны по площади (рис.5).
Свойство 6
Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, можно выразить через длины оснований (рис.6):
Формула 5
(KL;=;frac{2ast ADast BC}{AD+BC})
Свойство 7
Биссектрисы углов трапеции при одинаковой боковой стороне взаимно перпендикулярны (рис.7).
Свойство 8
В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон (рис.8).
Т.е. AD + BC = AB + CD
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: R = h/2.
Формулы для нахождения длины средней линии для разных видов трапеции
Существует три вида трапеций, длину средней линии которых можно рассчитать по-разному, но можно и общими способами. До того, как рассмотреть конкретные формулы, рассмотрим какие виды трапеций бывают
Виды трапеций
Равнобедренная (или равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны друг другу.
Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которого оба угла при одной из боковых сторон прямые, то есть по 90 °.
Трапеция является разносторонней, если ее боковые стороны не равны, и ни один из углов при основании не является прямым.
Рассмотрим различные варианты нахождения длины средней линии. Большинство из представленных ниже формул можно использовать для любого вида трапеции, но в зависимости от того, что дано в задаче мы и можем выбирать какой формулой нам удобнее воспользоваться.
- Нахождение длины средней линии трапеции через длины оснований.
Средняя линия в данном случае равно полусумме оснований трапеции (рис.9).
Формула 6
(m;=;frac{a+b}2)
- Длина средней линии через площадь и высоту трапеции (рис.10)
Формула 7
(m;=;frac Sh), где S — площадь трапеции, а h — ее высота.
- Длина средней линии через нижнее основание, высоту трапеции и углы при нижнем основании (рис.11)
Формула 8
(m;=a;-;hastfrac{(ctg;alpha;+;ctg;beta)}2)
- Способ нахождения длины средней линии через верхнее основание, высоту трапеции и углы при нижнем основании (рис.12)
Формула 9
(m;=b;-;hastfrac{(ctg;alpha;+;ctg;beta)}2)
- Способ нахождения длины средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями трапеции.
Формула 10
(m;=frac{Dast d}{2h}astsinleft(alpharight)), где: D, d — диагонали, h — высота, sin α — угол между диагоналями
- Средняя линия трапеции через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании (рис.13).
Формула 11
(m;=frac{2b;+;castcosleft(alpharight);+;dastcosleft(betaright)}2)
- Средняя линия трапеции через боковые стороны, нижнее основание и углы при нижнем основании (рис.14).
Формула 12
(m;=frac{2a;-;castcosleft(alpharight);-;dastcosleft(betaright)}2)
- Средняя линия равнобедренной трапеции через боковую сторону, нижнее основание и угол между ними (рис.15).
Формула 13
(m;=frac{2a;-;2castcosleft(betaright)}2)
- Средняя линия равнобедренной трапеции через боковую сторону, верхнее основание и угол при нижнем основании (рис.16)
Формула 14
(m;=frac{2b;+;2castcosleft(betaright)}2)
- Средняя линия прямоугольной трапеции через нижнее основание, высоту и острый угол при нижнем основании.
Формула 15
(m;=a;-hastfrac{ctg;beta}2)
Примеры решения задач на данную тему
Задача 1
Условие:
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции.
Решение:
Опустим высоты на сторону AD из точек B и C. Тогда, так как BCFE — прямоугольник, то BC = EF = 6. Треугольники ABE и DCF равны по гипотенузе и катету. Значит, AE = DF = (12-6)/2 = 3.
Из треугольника ABE по теореме Пифагора:
(BE;=;sqrt{5^2-3^2}=;4)
Тогда из того же треугольника ABE:
(sin(A);=;frac{BE}{AB}=;frac45=;0.8)
Ответ: 0,8.
Задача 2
Условие:
Большее основание равнобедренной трапеции равно 18. Боковая сторона равна 3. Синус острого угла равен (frac{sqrt5}3). Найдите меньшее основание.
Решение:
Пусть (BHperp AD,;CEperp AD). Имеем: BC = HE, AH = ED. В треугольнике ABH:
(sinleft(Aright);=;frac{BH}{AB}\frac{sqrt5}3=frac{BH}3\BH;=;sqrt5)
Далее, (AH;=;sqrt{AB^2-BH^2}=sqrt{3^2-left(sqrt5right)^2}=2)
Наконец, (BC;=;AD;-;2AH;=;18;-;2ast2=14)
Ответ: 14.
Задача 3
Условие:
Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 24 и 9.
Решение:
Пусть E, F — середины AB, CD соответственно.
По свойству средней линии трапеции, нам известно, что
(EF;=;frac{BC+AD}2\EF;=;frac{24+9}2=16.5)
Ответ: 16,5.
Задача 4
Условие:
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Решение:
Пусть EF — средняя линяя трапеции, S — точка пересечения диагонали BD и средней линии EF.
По свойству средней линии трапеции мы смогли узнать EF параллельна основанию AD.
И поскольку E — середина AB, то по теореме Фалеса S — середина BD. Значит, ES — средняя линяя треугольника ABD по определению. Тогда по свойству средней линии треугольника ES = AD/2 = 5. Откуда SF = 2.
Ответ: 5.
Задача 5
Условие:
Основания трапеции относятся как 4:5, а средняя линия равна 54. Найдите меньшее основание.
Решение:
По условию BC : AD = 4:5, тогда пусть BC = 4x, а AD = 5x, где x — это одна часть.
Пусть l — средняя линяя трапеции.
(l = (BC+AD)/2)
(54 = (4x + 5x)/2)
(54 = 9x/2)
x = 12
Тогда мы можем вычислить BC = 4x = 48
Ответ: 48.