Эллипс как найти фокусы эллипса - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Определение эллипса.

Начать изучение
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

Начать изучение
Уравнение касательной к эллипсу.

Начать изучение

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1label{ref1}
$$
при условии (a geq b > 0).

Из уравнения eqref{ref1} следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_{1}), (M_{2}) и (M_{3}) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^{2}+y^{2}=a^{2}). При каждом (x) таком, что (|x| < a), найдутся две точки эллипса с ординатами (pm b sqrt{1-x^{2}/a^{2}}) и две точки окружности с ординатами (pm a sqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно (b/a). Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении (b/a) (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Определение.

Пусть по определению
$$
c^{2}=a^{2}-b^{2}label{ref2}
$$
и (c geq 0).

Фокусами называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Определение.

Отношение
$$
varepsilon=frac{c}{a}label{ref3}
$$
называется эксцентриситетом эллипса.

Отметим, что (varepsilon < 1).

Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=a-varepsilon x, r_{2}=|F_{2}M|=a+varepsilon x.label{ref4}
$$

Доказательство.

Очевидно, что (r_{1}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}). Подставим сюда выражение для (y^{2}), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_{1}^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+b^{2}-frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}.nonumber
$$

Учитывая равенство eqref{ref2}, это можно преобразовать к виду
$$
r_{1}^{2}=a^{2}-2cx+frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}=(a-varepsilon x)^{2}.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon < 1), отсюда следует, что справедливо первое из равенств eqref{ref4}: (r_{1}=a-varepsilon x). Второе равенство доказывается аналогично.

Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).

Доказательство.

Необходимость. Если мы сложим равенства eqref{ref4} почленно, то увидим, что
$$
r_{1}+r_{2}=2a.label{ref5}
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref{ref5}, то есть
$$
sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^{2}=asqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.label{ref6}
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref{ref2}. Мы придем к (b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), равносильному уравнению эллипса eqref{ref1}.

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат (рис. 8.4)
$$
x=frac{a}{varepsilon},\ x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref7}
$$
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Утверждение 4.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).

Доказательство.

Докажем это предложение для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M(x, y)) — произвольная точка эллипса. Расстояние от (M) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) §3 гл. II равно
$$
d_{2}=|x+frac{a}{varepsilon}|=frac{1}{varepsilon}(varepsilon x+a).nonumber
$$
Из формулы eqref{ref4} мы видим теперь, что (r_{2}/d_{2}=varepsilon).

Обратно, пусть для какой-то точки плоскости (r_{2}/d_{2}=varepsilon), то есть
$$
sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=varepsilon left(x+frac{a}{varepsilon}right).nonumber
$$
Так как (varepsilon=c/a), это равенство легко приводится к виду eqref{ref6}, из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_{0}(x_{0}, y_{0})) — точка на эллипсе и (y_{0} neq 0). Через (M_{0}) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_{0} > 0) это график (f_{1}(x)=bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}), для (y_{0} < 0) — график (f_{2}(x)=-bsqrt{1-x^{2}/a^{2}}). Не уточняя знака (y_{0}), обозначим подходящую функцию (f(x)).) Для нее выполнено тождество
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{(f(x))^{2}}{b^{2}}=1.nonumber
$$
Дифференцируем его по (x):
$$
frac{2x}{a^{2}}+frac{2ff’}{b^{2}}=0.nonumber
$$
Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0}=y_{0})), находим производную от (f) в точке (x_{0}), равную угловому коэффициенту касательной:
$$
f'(x_{0})=frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}.nonumber
$$
Теперь мы можем написать уравнение касательной:
$$
y-y_{0}=-frac{b^{2}}{a^{2}} frac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упрощая это уравнение, учтем, что (b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}), так как (M_{0}) лежит на эллипсе. Результату можно придать вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}+frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref8}
$$

При выводе уравнения eqref{ref8} мы исключили вершины эллипса ((a, 0)) и ((-a, 0)), положив (y_{0} neq 0). Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения (x=a) и (x=-a). Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах ж как функция от у достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение eqref{ref8} определяет касательную для любой точки (M_{0}(x_{0}, y_{0})) на эллипсе.

Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Доказательство.

Нам надо сравнить углы (varphi_{1}) и (varphi_{2}), составленные векторами (overrightarrow{F_{1}M_{0}}) и (overrightarrow{F_{2}M_{0}}) с вектором (boldsymbol{n}), перпендикулярным касательной (рис. 8.5). Из уравнения eqref{ref8} находим, что (boldsymbol{n}(x_{0}/a^{2}, y_{0}/b^{2})), и потому
$$
(overrightarrow{F_{1}M_{0}}, boldsymbol{n})=frac{x_{0}}{a^{2}}(x_{0}-c)+frac{y_{0}}{b^{2}}y_{0}=1-frac{x_{0}c}{a^{2}}=frac{a-varepsilon x_{0}}{a}.nonumber
$$
Используя eqref{ref4}, мы получаем отсюда, что (cos varphi_{1}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Аналогично находим (cos varphi_{2}=1/(a|boldsymbol{n}|)). Утверждение доказано.

Рис. 8.5.

Источник

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса $F_{1}$ и $F_{2}$ . Допустим, что расстояние $F_{1}{F_{2}}$ = – фокусное расстояние.

Рис. 1

$F_{1}, F_{2}$ – фокусы .

$F_{1} = (c, 0)$ ; $F_{2} = (- c ; 0)$ ,

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, $r_{1} + r_{2} = 2 * sqrt{b^2 + c^2}$ (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, $r_1} + r_{2} = a - c + a + c$ . Так как по определению сумма $r_{1} + r_2}$ – постоянная величина, то приравнивая получается:

$a^2 = b^2 + c^2to{r_{1} + r_{2} = 2a$ .

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

Каноническое уравнение эллипса.
Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

$1 = {x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}}$

Если центр эллипсa смещен в точку с координатами $(x_{0}, y_{0})$ тогда уравнение:

$1 = {(x - x_{0})^2over{a^2}} + {(y - y_{0})^2over{b^2}}$

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим $F_{1}$ и $F_{2}$ на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты $F_{2}(-c, 0)$ и $F_{2}(c, 0)$ (см. рис. 2).

Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через $r_{2}$ и $r_{1}$ – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

$r_{1} + r_{2} = 2a$

(1)

Рис. 2

Подставим в (1) $r_{1} = F_{1}M = sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2}$ , $r_{2} = sqrt{(x + c)^2 + y^2}$ и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

$r_{2} = 2a - r_{1}tosqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - sqrt{(x - c)^2 + y^2}}to{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 - 4asqrt{(x - c)^2) + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2to{4a}sqrt{(x - c^2 + y^2} = 4a^2 - 4cxarrowvert:4$

$asqrt{(x - c)^2 + y^2} =a^2 - cx$

(подносим к квадрату обе части): $to{a^2x^2 - 2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2} = {a^4 - 2ca^2x + c^2x^2to{(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)arrowvert:a^2(a^2 - c^2)$ ,

${x^2over{a^2}} + {y^2over{a^2 - c^2}} = 1$

Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон больше третьей) из $Delta{F_{1}}MF_{2}$ у нас получается $F_{2}M + F_{1}M > F_{1}F_{2}to{r_{1} + r_{2}} > 2c$ . Так как $r_{1} + r_{2} = 2a$ , тогда , и поэтому .

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка $M_{1}(x, y)$ принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки $M_{2}(-x, y), M_{3}(-x, -y), M_{4}(x, -y)$ тоже удовлетворяют это уравнение: из

${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = 1to{(pm{x})^2over{a^2}} + {(pm{y})^2over{b^2}} = {1}$ .

Точки $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим $y = pm{{b}over{a}}sqrt{a^2 - x^2$ , для первой четверти ${y} = {bover{a}}sqrt{a^2 - x^2}$ .

Если , тогда . Если же , тогда . Точки $A_{1}(a, 0)$ и $B_{1}(0, b)$ , а также симметричные с ними $A_{2}(-a, 0)$ , $B_{2}(0, -b)$ – вершины эллипса, точка – центр эллипса, $A_{1}A_{2}$ = большая ось, $B_{1}B_{2} = 2b$ – малая ось эллипса.

Если первой четверти, тогда из $y = {bover{a}}sqrt{a^2 - x^2$ получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

$left{ begin{aligned} x = a{cos}alpha\ y = b{sin}alpha end{aligned}quad {0leqalpha < 2pi right$

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом $r_{1}$ равен углу между касательной и фокальным радиусом $r_{2}$ .

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами $(x_{M}, y_{M})$ :

$1 = {x x_{M}over{a^{2}}} + {y y_{M}over{b^{2}}}$ .

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами $F_{1}$ и $F_{2}$ у треугольника , тогда выполняется соотношение:

= ${{overline{F_{1}A} * overline{F_{2}A}}over{overline{CA} * overline{AB}}} + {{overline{F_{1}B} * overline{F_{2}B}}over{overline{AB} * overline{BC}}} + {{overline{F_{1}C} * overline{F_{2}C}}over{overline{BC} * overline{CA}}}$

Эксцентриситет эллипса

Эксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на обозначается

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если , тогда $c = {sqrt{a^2 + b^2}} = 0to{varepsilon = 0}$ – получается круг. Если же , тогда – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях . Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

$left{ begin{aligned} r_{1} = a - varepsilon{x},\ r_{2} = a + varepsilon, end{aligned} quad{xin[-a, a]. right$

Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси и , тогда вычислим $c = {sqrt{a^2 + b^2}}$ – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$ на расстоянии один от другого Концы не растянутой нити длиной закрепляем в точках $F_{1}$ и $F_{2}$ . Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Задача

Задан эллипс уравнением ${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = 1$ и точки $M_{0}(4; 1,8), M_{1}(3; 2,4)$ . Необходимо:

убедиться, что точки $M_{0}$ и $M_{1}$ лежат на эллипсе;
найти полуоси эллипса и координаты его фокусов;
найти расстояние от точки $M_{0}$ к фокусам;
убедиться, что сумма этих расстояний равна длине большой оси;
найти эксентриситет эллипса.

Решение

1. Подставим координаты точки $M_{0}$ в левую часть уравнения эллипса:

${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = {4^2over25}} + {1,8 * 1,8over{9}} = {16over25}} + {36over{100}} = {16over{25}} + {9over25}} = 1$ – точка $M_{0}$ лежит на эллипсе. Аналогично для $M_{1}(3; 2,4)$ :

точка $M_{1}$ лежит на эллипсе.

2. С канонического ${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$ и данного уравнения ${x^2over{25}} + {y^2over{9}} = 1$ эллипса выходит: $a^2 = {25},quad{b^2 = 9}to{a = 5, b = 3}.$ Из равенства получается:

$b^2 = a^2 - c^2to {c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9} = {16}to{c = 4}$ – полуфокусное расстояние. Координаты фокусов $F_{1}(4; 0)$ и $F_{2}(-4; 0)$ .

3. Найдём фокальные радиусы точки $M_{0}$ :

$r_{2} = F_{2}M_{0} = sqrt{(4 - (-4))^2 + 1,8^2} = sqrt{64 + 3,24} = sqrt{67,24} = 8,2$

$r_{1} = F_{1}M_{0} = sqrt{(4 - 4)^2 + 1,8^2} = 1,8.$

4. Найдём сумму $r_{1} + r_{2} = 1, 8 + 8.2 = 10 = 2 * 5 = 2a$ , что отвечает определению эллипса.

5. Эксцентриситет находится по формуле .

Задача

Найти оси, вершины и фокусы эллипса

Решение

Сведём обычное уравнение к каноническому:

$169x^2 + 25y^2 - 4225 = 0to{x^2over{25}} + {y^2over{169}} = 1$

, $b^2 = 169to{a = 5, b = 13}$ . Вершины эллипса в точках $A_{1}(5, 0)$ , $B_{1}(0, 13)$ , $A_{2}(-5, 0)$ , $B_{2}(0, -13)$ . Строим вершины на координатных осях и соединяем плавной линией (см. рис. 2). Так как в данном случае больше, чем , то эллипс, который вытянут вдоль оси , находим полуфокусное расстояние $c = sqrt{b^2 - a^2} = sqrt{169 - 25} = sqrt{144} = 12$ .

Фокусы в точках $F_{1}(0, 12)$ и $F_{2}(0, -12)$ . (см. рис. 3)

Рис. 4

Найти оси, вершины и фокусы эллипса $25x^2 + 144y^2 = 3600quad{:}arrowvertto{25x^2over{3600}} + {144y^2over{3600}} = {1}to{x^2over{144}} + {y^2over{25}} = {1}$ или ${X^2over{12^2}} + {y^2over{5^2}} = {1}$ . Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

, $b^2 = 5^2to{a = 12, b = 5}$ . Откуда находим оси эллипса: , и координаты вершин: $A_{1}(12, 0)$ , $A_{2} (-12, 0)$ , $B_{1}(0, 5)$ , $B_{2}(0, -5)$ . Дальше из формулы:

$b^2 = a^2 - c^2to{c^2 = a^2 - b^2 = 144 - 25 = 119}to{c = sqrt{119}}approx{10,91}$ . Значит, фокусами эллипса есть точки: $F_{1}(sqrt{119}, 0)$ и $F_{2}(-sqrt{119}, 0)$ . Для построения эллипса отложим на осях и вершины $A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}$ соответственно соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении ${x^2over{a^2}} + {y^2over{b^2}} = {1}$ большей полуосью будет , тогда фокусы эллипса будут расположены на оси и тогда $c = sqrt{b^2 - a^2}$ .

Источник

Эллипс- замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость. На рисунке ниже показано несколько примеров.

Круг-это частный случай эллипса, который получается, когда сечение через конус или цилиндр ортогонально оси конуса или цилиндра.

Эллипс-это фигура, в результате сечения конуса и прямого кругового цилиндра

Эллипс симметричен относительно горизонтальной и вертикальной осей, как показано на рисунке выше. Максимальное расстояние между двумя точками происходит вдоль горизонтальной оси (называемой главной осью или поперечным диаметром), а минимальное расстояние между двумя точками-вдоль вертикальной оси (называемой малой осью или сопряженным диаметром). Антиподальные точки — это любые две точки по периметру эллипса, так что соединяющий их отрезок линии должен проходить через центр с эллипса (что происходит на пересечении горизонтальной и вертикальной осей). Эллипс симметричен относительно его большой и малой осей.

Полуось — это та часть оси, которая лежит между центром (C) и периметром эллипса — называется полуосью. Полуоси, принадлежащие к главной оси — большая полуось, а полуось, принадлежащих к малой оси — малая полуось. На приведенной выше рисунке мы обозначили каждую из двух полуосей (a) и каждую из двух полуосей (b). Точки, показанные красным цветом по периметру эллипса, являются точками, где большая и малая оси пересекают периметр эллипса. Это вершины эллипса. Вершины — это точки, в которых кривизна эллипса максимальна (т. е. где главная ось пересекает периметр эллипса).

Есть две специальные точки, которые лежат на главной оси эллипса, равноудаленной от его центра C, каждая из которых является фокусом эллипса. Эти две точки (совместно называемые фокусами эллипса) обычно обозначаются как (F1) и (F2). Расположение фокусов таково, что для любой точки (p) по периметру эллипса сумма расстояний от (F1) до (P) и от (F2) до (P) остается постоянной и будет равна длине главной оси. Фактически, принимая любую произвольную пару точек в качестве фокусов и любое значение длины главной оси, которое больше расстояния между этими двумя точками, соответствующий эллипс определяется как набор точек, для которых сумма расстояний между точкой и каждым из фокусов равна длине главной оси.

Сумма расстояний от фокусов до любой точки эллипса есть постоянная

Расстояние между любым из фокусов и центром эллипса называется фокусным расстоянием и будет зависеть от длины главной и малой осей. Мы обозначили отрезки линии, соединяющие каждый фокус с центром эллипса (C). Длину( c) (т. е. Фокусное расстояние) можно найти по следующей формуле:

(с= sqrt{a^2-b^2} )

где (a) и (b)-длины главной и малой осей соответственно. Обратите внимание, что чем дальше фокусы от центра эллипса, тем меньше сходство между эллипсом и окружностью. Кривизна в вершинах эллипса будет увеличиваться, в то время как кривизна в (cо)-вершинах будет уменьшаться. Другими словами, эллипс станет более плоским по мере увеличения значения (c).

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса

Эллипс – это частный случай овала, и его строгое определение таково:

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек , называемых фокусами эллипса, равна длине большой оси: . При этом расстояния между фокусами меньше этого значения .

Сейчас станет понятнее:

Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот,

какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:

Убедимся, что в нашем примере значение суммы будет равно 8. Мысленно

поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, где хорошо видно, что:

На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу

двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите

зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно

натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку…, отлично! – чертёж можно сдать на проверку ~~врачу~~ преподавателю

Как найти фокусы эллипса?

В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр фигуры.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют

координаты , где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса.

Вычисления простецкие:
, таким образом:

Внимание! Со значением нельзя отождествлять

конкретные координаты фокусов! Повторюсь, что это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан

располагаться именно в начале координат). Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты.