Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).
Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).
Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.
(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.
(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
(-7): минимум.
(3): максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
- Найдите производную функции (f'(x)).
- Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
- Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
- Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
- Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
- Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
— если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
— если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
— если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)
3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).
Ответ. (-2).
Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Скачать статью
Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).
Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.
Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.
Ответ: (11.)
Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.
Тема: Максимумы, минимумы функций
1. Изучить весь предложенный теоритический материал по данной теме и записать в тетрадь.
2. Рассмотреть пример 1,2 и записать в тетрадь.
3. Решить самостоятельно в тетради (отправить мне на эл. почту) – за третий пункт будет выставлена оценка!
1. Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
2. Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике ниже, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. y. Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке ниже, −5 точка минимума, а 1 – минимум (или экстремум — смотрим по ОУ).
3. Как найти точки экстремумов функции по графику производной?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
У нас дан график производной — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки −13, −11, −9,−7 и 3. Количество точек экстремума функции 5.
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось x).
4. Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
— Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди −13, −11, −9,−7 и 3.
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
Начнем с−13: до −13 производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что −13 – точка максимума.
−11: производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что −11 – это минимум.
−9: функция возрастает, а потом убывает – максимум.
−7: минимум.
3: максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус. — Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
- Найдите производную функции f′(x).
- Найдите корни уравнения f′(x)=0.
- Нарисуйте ось x и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью f′(x), а под осью f(x).
- Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
- Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
- Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2: — если f′(x) изменила знак с «+» на «−», то x1 – точка максимума; — если f′(x) изменила знак с «−» на «+», то x3 – точка минимума; — если f′(x) не изменила знак, то x2 – может быть точкой перегиба.
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
2.Рассмотрим примеры:
Пример 1.
Найдите точку максимума функции y=3x5−20x3−54. Решение:
1.Найдем производную функции: y′=15x4−60x2. 2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
15x4−60x2=0 |:15 x4−4x2=0 x2(x2−4)=0 x=0 x2−4=0 x=±2
3. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является −2.
Ответ. −2.
Пример 2.
Найдите точку максимума функции 
Решение 1. Найдём производную (по правилу производная дроби) и приравниваем её к нулю:
Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2, а для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.
Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума. Ответ: 1.
3. Исследовать на экстремумы функцию (самостоятельно):
КРИТЕРИИ «5» — все 5 функций
«4» — 3,4 функции
«3» — 2 функции
Решение 3 пункта записываете в тетрадь и предоставляете для проверки, оценка выставляется в ГИС
Рассмотрим примеры заданий из №7 ЕГЭ, в которых нужно найти точки экстремума на графике производной.
Точка xo, в которой существует производная f'(xo), является точкой экстремума функции f(x), если производная в этой точке равна нулю и при переходе через xo производная меняет свой знак.
Отсюда следует, что в точках экстремума функции график производной должен не просто касаться оси Ox, он должен её пересекать.
№1
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-6;7). Найти точку экстремума функции f(x) на отрезке [-2;5].
Решение:
На рисунке изображён график производной (а не график функции)!
В точках экстремума функции производная f'(x) равна нулю и меняет знак.
Выделяем отрезок [-2;5]. Точка, в которой производная равна нулю и меняет знак — это точка с абсциссой 3.
Значит x=3 — точка экстремума функции y=f(x).
Ответ: 3.
№2
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-9;5). Найти количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [6-;4].
Решение:
Выделяем отрезок [-6;4].
На этом отрезке график производной пересекает ось абсцисс в трёх точках.
Следовательно, на отрезке [-6;4] функция f(x) имеет три точки экстремума.
Ответ: 3.
№3
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-7;7). Найти количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-5;6].
Решение:
Выделяем отрезок [-5;6].
На этом отрезке график производной пересекает ось абсцисс в четырёх точках. Значит, функция f(x) имеет на отрезке [-5;6] четыре точки экстремума.
Точка, в которой производная равна нулю, но знак не меняет (график производной коснулся оси Ox, но не пересёк её), не является точкой экстремума.
Ответ: 4.
Важно внимательно читать условие, чтобы не перепутать нахождение точек экстремума по графику производной с заданием на нахождение точек экстремума по графику функции!
Как найти точки минимума и максимума функции
Содержание:
-
Минимум и максимум функции
- Точка минимума, минимум функции
- Точка максимума, максимум функции
- Исследование функций на экстремумы
- Примеры задач
Минимум и максимум функции
Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом:
- (y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
- (x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
- (y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.
Точка минимума, минимум функции
Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))
Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.
Точка максимума, максимум функции
Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))
Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)
Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.
Точки максимума и минимума на графике:
Исследование функций на экстремумы
Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.
Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:
-
Найти область определения функции — D(y).
-
Определить производную — f ‘(x).
-
Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).
-
Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).
-
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).
-
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Примеры задач
Задача 1
Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)
Решение задачи по алгоритму:
1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.
2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .
3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:
Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)
4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 — точка максимума, а x=2 — минимума.
5) Найдем значение экстремумов функции.
(f(0)=0-3times0=0)
(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)
Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) — минимум функции, (2;-4) — максимум.
Задача 2
Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).
1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)
2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})
3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.
Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.
Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).
Задача 3
Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.
1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.
2) (f'(x)=5x^4+6x)
3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.
Утверждение доказано