Егэ по математике как найти значение выражения - AvtoShod.ru

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения $frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}.$

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

$frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}=frac{2,88cdot 44,5}{2,88cdot 0,445}=frac{44,5}{0,445}=100.$

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения $7frac{9}{13}:frac{5}{13}.$

$7frac{9}{13}:frac{5}{13}=frac{100}{13}cdot frac{13}{5}=20.$

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

$left ( sqrt{a} right )^{2}=a;;sqrt{a}geq 0;;ageq 0$ .

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7} right )^{2}+2sqrt{3}cdot sqrt{7}+left ( sqrt{3} right )^{2}}=$

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7}+sqrt{3}right )^{2}}=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )left ( sqrt{7}+sqrt{3} right )=$

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

$a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

$frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

$left ( a^{m} right )^{n}=left ( a^{n} right )^{m}=a^{mn}.$

$a^{n}b^{n}=left ( ab right )^{n}.$

$frac{a^{n}}{b^{n}}=left ( frac{a}{b} right )^{n}.$

5. Найдите значение выражения: $frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}$ при a=4.

$frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.$

Применили формулу частного степеней $frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

Ответ: 256.

6. Вычислите $left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}.$

$left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}=left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{2^{frac{1}{12}}} right )^{2}=left ( 2^{frac{1}{3}+frac{1}{4}-frac{1}{12}} right )^{2}=left ( 2^{frac{4}{12}+frac{3}{12}-frac{1}{12}} right )^{2}=$

$=left (2^{frac{1}{2}} right )^{2}=2.$

Ответ: 2.

7. Вычислите $frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}$ , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение m=3,7. Сначала упростим выражение.

$frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}=frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.$

Ответ: 4,5.

8. Вычислите $0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}.$

$0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}=left ( frac{3}{4} right )^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot left ( 3cdot 4 right )^{frac{7}{8}}=frac{3^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 3^{frac{7}{8}}cdot 4^{frac{7}{8}}}{4^{frac{1}{8}}}=3cdot 4=12.$

Применили формулу для произведения степеней: $a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Ответ: 12.

9. Вычислите $frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}.$

$frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}=frac{3^{frac{1}{28}}cdot 3cdot 3^{frac{1}{21}}}{3^{frac{1}{12}}}=3^{frac{1}{28}+1+frac{1}{21}-frac{1}{12}}=3^{frac{3}{84}+1+frac{4}{84}-frac{7}{84}}=3.$

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом > 0, > 0, aneq 1.

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: $boldsymbol{log _{a}a^{c}=c, ; a^{log _{a}b}=b}.$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c}.$

Логарифм частного равен разности логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( frac{b}{c} right )=log _{a}b-log _{a}c}.$

Формула для логарифма степени: $boldsymbol{log _{a}b^{m}=mlog_{a}b}.$

Формула перехода к новому основанию: $boldsymbol{log _{a}b=frac{1}{log _{b}a},; log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}}.$

10. Вычислите: $log _{5}7cdot log _{7}25$ .

$log _{5}7cdot log _{7}25=log _{5}7cdot log _{7}5^{2}=2log _{5}7cdot log _{7}5=2.$

Снова формула перехода к другому основанию.

$log _{a}b=frac{1}{log _{b}a}$ , поэтому
$log _{a}bcdot log _{b};a=1.$

11. Найдите $log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}$ , если $log _{a}b=-2$ .

$log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}=log _{a}a^{6}-log _{a}b^{6}=6-4log _{a}b=6-4cdot left ( -2 right )=6+8=14.$

12. Найдите значение выражения $frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}$ .

$frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}left (8cdot 10 right )}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}8+log _{2}10}{3+log _{2}10}=frac{3+log _{2}10}{3+log _{2}10}=1.$

13. Найдите значение выражения $frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}$ .

$frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}=frac{log _{9}8^{frac{1}{10}}}{log _{9}8}=frac{1}{10}=0,1$ .

14. Найдите значение выражения $left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )$ .

$left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )=-left ( log _{3}18-log _{3}3 right )cdot left ( log _{6}54-log _{6}6 right )=-log _{3}6cdot log _{6}9=-2log _{3}6cdot log _{6}3=-2.$

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: $44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right ).$

$44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right )=44sqrt{3}cdot frac{sin left ( -480^{circ} right )}{cos left ( -480^{circ} right )}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 480^{circ}}{cos 480^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 120^{circ}}{cos 120^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}:left ( -frac{1}{2} right )=132.$

16. Найдите , если $sin alpha =-frac{2sqrt{2}}{3}$ и $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ .

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{2sqrt{2}}{3} right )^{2}=1-frac{8}{9}=frac{1}{9}.$

Т.к. $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ , то $cos alpha =frac{1}{3}.$
$3cos alpha =3cdot frac{1}{3}=1.$

17. Найдите , если $sin alpha =-frac{1}{sqrt{5}}$ и

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{1}{sqrt{5}} right )^{2}=1-frac{1}{5}=frac{4}{5}.$

Т.к. , то
$cos alpha =frac{2}{sqrt{5}}.$

$tgalpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=-frac{1}{sqrt{5}}:frac{2}{sqrt{5}}=-2.$

18. Найдите значение выражения: $frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}.$

$frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{13cdot 2sin 76^{circ}cdot cos 76^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{26sin 76^{circ}}{cos 14^{circ}}=frac{26sin left ( 90^{circ}-14^{circ} right )}{cos 14^{circ}}=$

$=frac{26cos 14^{circ}}{cos 14^{circ}}=26.$

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: $frac{3cos(pi - beta)+sin(frac{pi}{2}+beta)}{cos(beta+3pi)}.$

$frac{3cos left ( pi -beta right )+sin left ( frac{pi }{2}+beta right )}{cos left ( beta +3pi right )}=frac{-3cos beta +cos beta }{-cos beta }=frac{-2cos beta }{-cos beta }=2.$

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

$2cos 2alpha =2left ( 1-2sin ^{2}alpha right )=2-4sin ^{2}alpha =2-4cdot left ( -0,7 right )^{2}=0,04.$

21. Вычислите $frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }$ , если

$frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }=frac{1-cos ^{2}alpha +sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{1+cos ^{2}alpha -sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=$

$=frac{2sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{2cos ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=frac{sin alpha left ( sin alpha +cos alpha right )}{cos alpha left ( cos alpha +sin alpha right )}=frac{sin alpha }{cos alpha }=tgalpha =0,3.$

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти $sqrt{a^{2}}$ .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}$ при .

Запомним: $sqrt{a^{2}}=left | a right |.$

$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}=left | a-2 right |+left | a-4 right |$ .

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}$ при xleq 12 .

При xleq 12 получим:

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}=x+sqrt{left ( x-12 right )^{2}}=x+left | x-12 right |=x+12-x=12.$

Ответ: 12.

24. Найдите $frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}$ , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
$frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}=1$ .

25. Найдите $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ , если $pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ , при .

$pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
$left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ .

Тогда при bneq 0.

$pleft ( frac{1}{b} right )=left ( frac{1}{b}-9b right )left ( -frac{9}{b} +bright )=left ( b-frac{9}{b} right )left (-9b +frac{1}{b} right )=pleft ( b right )$ , и значение выражения $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ равно 1.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Значение выражений

[su_box title=”Описание задания” style=”soft” box_color=”#c1e8cc” title_color=”#0c0a0a”]

В задании №5 ЕГЭ по математике базового уровня нам необходимо вычислить значение выражения, пользуясь различными правилами: формулами сокращенного умножения, знаниями тригонометрии, свойствами логарифмов и другими. Данное задание требует более глубоких знаний и значительно сложнее первого задания, где достаточно было знать элементарные математические операции.

Тематика заданий: значение выражений

Бал: 1 из 20

Сложность задания: ♦♦♦

Примерное время выполнения: 5-7 мин.

[/su_box]

Теория к заданию №5

В данном задании, кроме операций со степенями, о которых мы говорили в прошлых заданиях, необходимо помнить формулы сокращенного умножения:

Кроме этого, очень часто встречаются задания на знания свойств логарифма:

Полезными будут представления о тригонометрической окружности, по которой можно определять знаки тригонометрических функций:

Разбор типовых вариантов заданий №5 ЕГЭ по математике базового уровня

Во всех заданиях необходимо найти значение выражения.

Вариант 5МБ1

Алгоритм выполнения

Представим угол 390° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.
Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
Выполним умножение.

Решение:

Функция tg является периодической с периодом 180°, то есть каждый раз при увеличении или уменьшении угла на 180° значение tg повторяется.

То есть tg α = tg (α + 180°) = tg (α – 180°)

tg 390° = tg (390° – 180°) = tg 210° = tg (210° – 180°) = tg 30°

Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.

tg 30° = √3/3

Подставим найденное значение в данное выражение.

20 · √3 · (√3/3) = (20 · √3 · √3)/3 = (20 · 3)/3 = 20

Решение в общем виде

Вычислим выражение, учитывая, что функция тангенс периодическая с периодом π радиан или 180°. Следовательно, угол 390° эквивалентен углу

и получаем выражение:

Ответ: 20.

Вариант 5МБ2

Алгоритм выполнения

Представим угол 420° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.
Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
Выполним умножение.

Решение №1:

То есть

tg α = tg (α + 180°) = tg (α – 180°)

tg 390° = tg (420° – 180°) = tg 240° tg (240° – 180°) = tg 60°

Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.

tg 60° = √3

Подставим найденное значение в данное выражение.

-50 · √3 · √3 = -50 · 3 = -150

Решение №2:

Заметим, что функция тангенс периодическая с периодом π радиан или 180°. Поэтому, тангенс угла 420° эквивалентен тангенсу угла в

получаем:

Ответ: -150.

Вариант 5МБ3

Алгоритм выполнения

Объединим подкоренные выражения под один корень.
Внесем под корень дробь.
Сократим дробь под корнем.
Представим произведение под корнем в виде произведения вторых степеней.
Вынесем из под корня множители.
Выполним умножение.

Решение:

Объединим подкоренные выражения под один корень. Имеем право так сделать использовав, свойство квадратного корня.

5/3 · √27 · √3 = 5/3 · √(27 · 3)

Внесем под корень дробь.

Корень квадратный, следовательно, чтобы внести дробь под знак корня нужно возвести ее в квадрат. То есть умножить сам на себя числитель и знаменатель.

(5/3)² = (5 · 5)/(3 · 3)

Сократим дробь под корнем на три дважды.

Представим произведение под корнем в виде произведения вторых степеней.

Вынесем из под корня множители и выполним умножение.

Решение в общем виде:

Ответ: 15.

Вариант 5МБ4

[su_note note_color=”#defae6″]

Найдите cos α, если sin α = 0,8 и 90° ‹ α ‹ 180°.

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Запишем основное тригонометрическое тождество.
Подставим в основное тригонометрическое тождество все известные данные.
Решим полученное уравнение относительно cos α.
Выбрать корни, подходящие к условию задания.

Решение:

Запишем основное тригонометрическое тождество.

sin² α + cos² α = 1

Подставим в основное тригонометрическое тождество все известные данные.

0,8² + cos² α = 1

Решим полученное уравнение относительно cos α.

cos² α – неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

cos² α = 1 – 0,8²

Чтобы найти вторую степень числа нужно число умножить само на себя.

0,8² = 0,8 · 0,8 = 0,64

cos² α = 1 – 0,8² 1 – 0,64 = 0,36

cos α = √0,36

cos α = 0,6 или -0,6

Условие 90° ‹ α ‹ 180° означает, что -1 ‹ соs α ‹ 0.

Следовательно данному условию удовлетворяет только один корень -0,6.

Ответ: -0,6.

Вариант 5МБ5

[su_note note_color=”#defae6″]

(2√13 −1)(2√13 +1).

[/su_note]

Алгоритм выполнения

В данном задании необходимо сразу заметить формулу сокращенного умножения – разность квадратов (последняя формула сокращенного умножения в теории выше).

Решение:

После этого, решение задания сводится к следующему:

(2√13 −1)(2√13 +1) = (2√13)² – 1² = 4 • 13 – 1 = 51

Ответ: 51.

Вариант 5МБ6

[su_note note_color=”#defae6″]

5^log₅6+1 .

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Сначала вспомним свойства степеней и разложим выражение следующим образом:

5^log₅6 • 5¹

Затем вспомним определение и свойство логарифма – это вторая строчка из нашей теории:

Решение:

Получим:

6•5 = 30

Ответ: 30

Вариант 5МБ7

[su_note note_color=”#defae6″]

(√11-√3)(√11+√3)

[/su_note]

Алгоритм выполнения

Применяем формулу сокращенного умножения a²–b²=(a-b)(a+b).
Используем определение кв.корня: (√a)²=a.
Находим полученную разность целых чисел.

Решение:

Исходя из алгоритма, подставляем а=√11, а b=√3, тогда 11-3=8

Ответ: 8

Вариант 5МБ8

Алгоритм выполнения

Применяем тождество log_a(xy)=log_ax+log_ay.
Преобразовываем множители, стоящие под знаком логарифма, в степени.
Используем для выражения под знаком логарифма св-во степеней a^xb^x=(ab)^x.
Используем св-во логарифмов xlog_ab=log_ab^x.
Применяем тождество log_aa=1,.

Решение:

log₆27 + log₆8 = log₆27·8 = log₆3³·2³ = log₆(3·2)³ = log₆6³ = 3log₆6 = 3

Ответ:3

Вариант 5МБ9

Алгоритм выполнения

Вносим множитель √6 в скобки.
Выполняем умножение √24 и √6. Получим √144. Это число является полным квадратом: (√12)².
Перемножаем √6 и √6. Получаем (√6)².
Используя определение кв.корня (√а)²=а, находим, что (√12)²=12, а (√6)²=6.
Находим разность полученных целых чисел.

Решение:

Ответ: 6

Вариант 5МБ10

Найдите sinα, если

Алгоритм выполнения

Применим основное тригонометрическое тождество. В тождество подставим данное в условии числовое значение для косинуса.
Выполняем преобразование тождества, получаем числовой результат.
Определяем знак результата, исходя из величины угла α.

Решение:

Ответ: 0,4

Вариант 5МБ11

Алгоритм выполнения

Выполняем 1-ю по приоритетности операцию – возведение в степень (в знаменателе). Для этого используем св-во степеней (ab)²=a²·b². Далее для множителя (√13)² применяем формулу, определяющую понятие кв.корня: (√а)²=а.
Выполняем умножение в знаменателе.
Представляем число 39 в числителе как произведение 3·13.
Сокращаем дробь на 13.
Переводим полученную обыкновенную дробь в десятичную.

Решение:

Ответ: 0,75

Вариант 5МБ12

Алгоритм выполнения

Применяем к показателю степени 2log₃7 св-во логарифмов log_b^ya^x=(x/y)log_ba. Получим log₃7².
Применяем св-во логарифмов a^log_a^b=b. В результате знак логарифма исчезает, остается только выражение 7², которое было под знаком логарифма.
Возводим 7 в квадрат.

Решение:

2log₃7 log₃7²

3 = 3 = 7² = 49

Ответ:49

Вариант 5МБ13

Алгоритм выполнения

Используем св-во корней √(a·b)=√a·√b. Таким способом √63 разложим на множители √9 и √7.
Сгруппируем одинаковые множители √7. Получим (√7)².
Основываясь на определении кв.корня (√а)²=а, представляем √9=(√3)².
Возводим полученные числа в квадрат.
Находим итоговое произведение.

Решение:

Ответ: 21

Вариант 5МБ14

Алгоритм выполнения

Используем св-во степеней x^a+b=x^a·x^b. Получим 2 множителя, первый из которых равен 7, а второй представляет собой степень с основанием 7 и показателем, содержащим логарифм.
Для второго множителя применим св-во логарифмов a^loga^b=b.
Находим результирующее произведение.

Решение:

Ответ: 21

Вариант 5МБ15

Алгоритм выполнения

Для cos 390⁰ используем ф-лу приведения cos (360⁰+α)=cos α. Получим cos 30⁰=√3/2. Записываем получившееся выражение в виде дроби со знаменателем 2.
Вычисляем произведение √3·√3 путем возведения в степень. Для этого используем определение кв.корня: (√а)²=а.
Сокращаем 20 в числителе и 2 в знаменателе на 2.
Находим конечное произведение.

Решение:

Ответ: 30

Вариант 5МБ16

Алгоритм выполнения

Преобразовываем часть выражения, взятую в скобки. Для этого представляем 49 как 7². Затем используем св-во логарифмов log_ba^x=xlog_ba, а далее св-во log_aa=1. Получаем 2.
Применяем св-во логарифмов log_aa=1.

Решение:

log₂(log₇49) = log₂(log₇7²) = log₂(2log₇7) = log₂2 = 1

Ответ: 1

Даниил Романович | Просмотров: 14k

Источник

Всего: 599 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

Найдите значение выражения

Найдите значение выражения если

Найдите значение выражения при a=6,25.

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Базовый уровень. Вариант 2.

Найдите значение выражения

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Базовый уровень. Вариант 1.

Найдите значение выражения

Источники:

Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Базовый уровень. Вариант 2;

Демонстрационная версия ЕГЭ  — 2018;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2015 по математике. Базовый уровень. Вариант 1.

Найдите значение выражения

Трёхзначное число при делении на 10 даёт в остатке 3. Если последнюю цифру числа перенести в начало его записи, то полученное число будет на 72 больше первоначального. Найдите исходное число.

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Найдите значение выражения

Всего: 599 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Источник

Итак, давайте разберем, задание №9 в ЕГЭ по математике профильного уровня. Все эти задания требуют – найдите значение выражения. То есть, наша задача вычислить – найти значение выражения и записать в ответ число.

Задания ЕГЭ профильного уровня по математике

Какие бывают задания с требованием найти значение выражения. Эти задания бывают разными и относящимися к разным темам. Например, выражения в задании 9 ЕГЭ по математике профильного уровня бывают:

степенные
логарифмические
тригонометрические
числовые
иррациональные (с корнями)
с переменными заданными величинами

Давайте рассмотрим общий принцип и необходимые теоретические сведения для решения каждого типа выражения.

Степенные выражения

Для того, чтобы найти значение выражения со степенями, вам понадобятся формулы для вычисления степеней. Приведем самые распространенные из них, на которые обычно дается задание нахождения значения выражения со степенями. Вы должны четко понимать, что если число находится в какой то степени, то оно не свободное, оно в отношении степени. И нельзя сократить два числа в дроби, если у них одно основание и разные показатели степени. Или если разные основания и разные показатели степени.

Например, вот здесь $frac{6^{5}}{2^{3}}$ мы никак не можем получить . Потому что мы не имеем право делить 6 на 2, пока 6 находится в степени. И 2 находится в степени. Степень вообще всегда первое действие. То есть среди действий +, – , : , и степень, мы сначала будем возводить в степень. Именно это свойство степени проверяется, например, в этом задании:

Найдите значение выражения $frac {3^{6,5}}{9^{2,25}}$ . Мы не можем сократить 3 и 9, потому что они находятся в отношении степени. И нам нужно сначала возвести в степень. Только потом мы можем разделить числитель на знаменатель.

Итак, найдем значение этого выражения: $frac {3^{6,5}}{9^{2,25}}=frac{3^{6,5}}{(3^2)^{2,25}}=frac{3^{6,5}}{3^{4,5}}=3^{6,5-4,5}=3^2=9$ .

Здесь мы использовали свойство степени при делении степеней с одинаковыми основаниями. Приведем все необходимые для решения данных заданий свойства степеней:

$boxed {a^m cdot a^n=a^{m+n}}$

$boxed {frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$

$boxed {(a^m)^n=a^{mn}}$

$boxed { (frac{a^m}{b^n})^k=frac{a^{mk}}{b^{nk}}}$

$boxed {(a^m cdot b^n)^k=a^{mk}cdot b^{nk}}$

$boxed {a^{-n}=frac{1}{a^n}}$

Давайте рассмотрим еще несколько заданий.

Найдите значение выражения

Задание 1.

Найдите значение выражения .

Очевидно, что перед нами формула сокращенного умножения в развернутом виде: . Применяя эту формулу к нашему выражению, увидим, что , а . Получим: $a^2-b^2=(sqrt{3})^2-(sqrt{13})^2=3-13=-10$ .

Ответ: -10.

Задание 2.

Найдите значение выражения $frac{(5sqrt{3})^2}{10}$ .

При возведении произведения в степень, в нее возводится каждый множитель, то есть получим: $frac{5^2 cdot (sqrt{3})^2}{10}=frac{25cdot3}{10}=frac{75}{10}=7,5$ .

Ответ: 7,5.

Ничего сложного, если вы знаете формулы сокращенного умножения и свойства степеней.

А для того, чтобы найти значение выражения, в котором есть логарифмы, нужно знать свойства логарифмов.

Задание 3.

Найдите значение выражения $frac{log_{3}4}{log_{3}2}+log_{2}0,5$ .

Здесь для нахождения значения выражения мы будем использовать следующие свойства логарифмов:

переход к новому основанию $log_{a}b=frac{log_{c}b}{log_{c}a}$ .

сложение логарифмов с одинаковыми основаниями: $log_{a}b+log_{a}c=log_{a}{bc}$ .

Итак, получим: $frac{log_{3}4}{log_{3}2}+log_{2}0,5=log_{2}4+log_{2}0,5=log_{2}{4cdot 0,5}=log_{2}2=1$

Ответ: 1.

Задание 4.

Найдите значение выражения $frac{(2^{frac{4}{7}}cdot 3^{frac{2}{3}})^{21}}{6^{12}}$ .

Помните: при возведении в степень произведения, в нее возводится каждый множитель: $(a^m cdot b^n)^k=a^{mk} cdot b^{nk}$

Преобразуем выражение в числителе дроби:

$frac{(2^{frac{4cdot 21}{7}}cdot 3^{frac{2cdot 21}{3}})}{6^{12}}=frac{2^{4cdot 3}cdot 3^{2cdot 7}}{6^{12}}$

Разложим 6 на множители 2 и 3, получим:

$frac{2^{4cdot 3}cdot 3^{2cdot 7}}{(2 cdot 3)^{12}}=frac{2^{4cdot 3}cdot 3^{2cdot 7}}{2^{12} cdot 3^{12}}=frac {2^{12}cdot 3^{14}}{2^{12} cdot 3^{12}}$

Далее используем свойства степеней:

$frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ .

Сокращая числитель и знаменатель на $2^{12}$ , получим: $frac {2^{12}cdot 3^{14}}{2^{12} cdot 3^{12}}=3^{14-12}=3^2=9$ .

Ответ: 9.

Задание 5

Найдите значение выражения: $frac {81^{2,6}}{9^{3,7}}$ .

Решим данное выражение, учитывая, что , а . Получим: $frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}$ . При возведении степени в степень, показатели степени перемножаются, имеем: $frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}=frac{3^{4cdot 2,6}}{3^{2cdot 3,7}}=frac{3^{10,4}}{3^{7,4}}=3^{10,4-7,4}=3^3=27$ .

Ответ: 27.

Задание 6

Найдите значение выражения $log_{8}144-log_{8}2,25$ .

Для того чтобы найти значение этого выражения надо применить следующее свойство логарифмов: $log_{a}b-log_{a}c=log_{a}{frac{b}{c}}$ .

Получим: $log_{8}144-log_{8}2,25=log_{8}{frac{144}{2,25}}=log_{8}{64}=2$ .

Ответ: 2.

Задание 7

Найдите значение выражения $log_{4}40-log_{4}2,5$ .

Действуем также, как и в предыдущем задании, используя свойство разности логарифмов:

$log_{4}40-log_{4}2,5=log_{4}{frac{40}{2,5}}=log_{4}{16}=2$ .

Ответ: 2.

Задание 8

Найдите , если .

Для того, чтобы найти значение данного выражения нам понадобятся две тригонометрические формулы:

Основное тригонометрическое тождество: $cos^{2} {alpha}+sin^{2} {alpha}=1$ .
Косинус двойного аргумента: $cos{2alpha}=cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha}$ .

Итак, по формуле (2) распишем наше выражение в следующем виде: $28cos{2alpha}=28(cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha})$ . Однако, нам известен только косинус, для того чтобы из синуса сделать косинус, используем основное тригонометрическое тождество: $sin^{2} {alpha}=1-cos^{2} {alpha}$ .

Тогда наше выражение примет вид:

$28cos{2alpha}=28(cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha})=28(cos^{2} {alpha}-(1-cos^{2} {alpha}))=28(2cos^{2} {alpha}-1)$ .

Подставляем значение косинуса, получим:

$28(2cos^{2} {alpha}-1)=28(2(-0,7)^2-1)=28(2cdot 0,49 - 1)=28cdot (-0,02)=-0,56$ .

Ответ: -0,56.

Задание 9

Найдите значение выражения $3sqrt{2}cos ^2 {frac{13 pi}{8}}-3sqrt{2}sin ^2 {frac{13 pi}{8}}$ .

Решим. Вынесем за скобки. Получим: $3sqrt{2}(cos ^2 {frac{13 pi}{8}}-sin ^2 {frac{13 pi}{8}})$ .

В скобках видим формулу косинуса двойного аргумента: $cos{2alpha}=cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha}$ . Применяя ее, имеем:

$3sqrt{2}(cos ^2 {frac{13 pi}{8}}-sin ^2 {frac{13 pi}{8}})=3sqrt{2}cos {frac{2 cdot 13 pi}{8}}=3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}$

Мы знаем, что $cos {pi/4}=frac{sqrt{2}}{2}$ . Но мы не знаем, чему равен $cos {frac{13pi}{4}}$ , давайте рассуждать в это 3 и еще $frac{pi}{4}}$ .

То есть, $cos {frac{13pi}{4}}=cos{(3pi+frac{pi}{4})}$ . Применяя формулы или правило приведения, получим: $cos {frac{13pi}{4}}=cos{(3pi+frac{pi}{4})}=-cos{frac{pi}{4}}=-frac{sqrt{2}}{2}$ . Подставляя это значение в наше выражение $3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}$ , вычислим: $3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}=3sqrt{2} cdot(-frac{sqrt{2}}{2})=-3$

Ответ: -3.

Источник

В задании (6) ЕГЭ по профильной математике нужно преобразовать числовое, буквенное, степенное, иррациональное, логарифмическое или тригонометрическое выражение и найти его значение. За это задание можно получить (1) балл.

Пример:

найди значение выражения

−20tg53°⋅tg143°=−20tg53°⋅tg(90°+53°)=−20tg53°⋅ctg53°.

Алгоритм выполнения задания

Определи тип выражения.
Выполни преобразования, соответствующие типу выражения.
Если задано значение переменной, подставь это значение в упрощённое выражение. Вычисли его значение.
Запиши ответ.

Как решить задание из примера?

Дано тригонометрическое выражение.
Заметим, что

143°=90°+53°

. Используем формулу приведения

tg(90+α)=−ctgα

и преобразуем выражение:

−20tg53°⋅tg143°=−20tg53°⋅tg(90°+53°)=−20tg53°⋅ctg53°.
Воспользуемся формулой

tgα⋅ctgα=1

:

−20tg53°⋅ctg53°=−20⋅1=−20.
Запишем ответ (непосредственно в самом задании — без точки в конце).

Ответ: (-20).

Обрати внимание!

В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.

Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!

Источник

Значение выражений

Теория к заданию №5

Разбор типовых вариантов заданий №5 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 5МБ1

Алгоритм выполнения

Решение:

Решение в общем виде

Вариант 5МБ2

Алгоритм выполнения

Решение №1:

Решение №2:

Вариант 5МБ3

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ4

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ5

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ6

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ7

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ8

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ9

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ10

Алгоритм выполнения

Решение:<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" loading="lazy" src="https://spadilo.ru/wp-content/uploads/2019/01/c-users-ksenya-desktop-korin-png-e1560417170386.png" alt width="483" height="62" />

Вариант 5МБ11

Алгоритм выполнения

Решение:<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" loading="lazy" src="https://spadilo.ru/wp-content/uploads/2019/01/c-users-ksenya-desktop-55-png-e1560417394213.png" alt width="238" height="59" />

Вариант 5МБ12

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ13

Алгоритм выполнения

Решение:<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" loading="lazy" src="https://spadilo.ru/wp-content/uploads/2019/01/c-users-ksenya-desktop-k33-png-e1560417526909.png" alt width="221" height="28" />

Вариант 5МБ14

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ15

Алгоритм выполнения

Решение:

Вариант 5МБ16

Алгоритм выполнения

Решение:

Задания ЕГЭ профильного уровня по математике

Степенные выражения

Найдите значение выражения

Задание 1.

Задание 2.

Задание 3.

Задание 4.

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Не пропустите также:

Решение:

Решение:

Решение: