Две пересекающиеся плоскости как найти точки пересечения

Пересечение двух плоскостей

Пересечение двух плоскостей общего положения представляет собой прямую линию, поэтому для ее определения достаточно найти две
точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей — так называемые общие точки.

Чтобы найти общие точки, достаточно ввести одну или две вспомогательные секущие плоскости γ₁
и γ₂.

Найти пересечение двух плоскостей общего положения линию l, если плоскости заданны пересекающимися прямыми b c и
параллельными прямыми d e.

Вспомогательная плоскость γ₁ пересекает заданные плоскости по прямым n1 и n2, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии.

Вспомогательная плоскость γ₂ пересекает заданные плоскости по прямым m1 и m2, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии.
Проведя через найденные точки L1 и L2 прямую линию получаем искомое, пересечение двух плоскостей — линию l.

Определить линию пересечения l плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V.

Задача на пересечение плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V.

Задача на пересечение плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V причем α_V ║ β_V.

Пересечение двух плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF.

Вспомогательная плоскость γ1 пересекает заданные плоскости по прямым 1-2 и DE, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии — точка M.

Вспомогательная плоскость γ2 пересекает заданные плоскости по прямым 3-4 и AC, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии — точка N.

Соединяем точки MN прямой линией получаем искомую линию l пересечения двух плоскостей.

Определение видимости пересекающихся плоскостей на плоскостях проекций выполняем, используя Конкурирующие точки:
на фронтальной плоскости проекций — 1″≡6″; 1`, 6` и 5″≡ 7″; 5`, 7` — будет видна вершина D с прилегающими сторонами до линии пересечения.
на горизонтальной плоскости проекций — 8`≡9`; 8″, 9″ и 10`≡ 11`; 10″, 11″ — будет видна вершина C с прилегающими сторонами до линии пересечения.

Построить линию пересечения двух плоскостей треугольник ABC и α(αH, αV)

Графическая работа 1 представляет задачу на пересечение двух плоскостей заданных треугольником и ромбом

+

Плоскость — это одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Содержание:

1. Понятие пересекающихся плоскостей
2. Двугранные углы

Понятие пересекающихся плоскостей

Определение. Плоскости, которые имеют хотя бы одну общую точку, называют пересекающимися.

Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой . Плоскости и в этом случае являются пересекающимися по прямой (рис. 2.379).

Пример: 

Дана плоскость . Доказать, что существует другая плоскость (3, пересекающая .

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1.    Плоскость (дано) (рис. 2.380).

2.    Нужно доказать, что существует другая плоскость , пересекающая .

Мы знаем, что на основании аксиомы 3 (аксиомы плоскости) три точки определяют единственную плоскость.

3.    Возьмем точки А и В, принадлежащие плоскости , и точку С, не лежащую на прямой АВ и не принадлежащую (построение) (рис. 2.381).

4.    Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них можно провести плоскость , и притом только одну (3, аксиома 3).

5.    Плоскости и имеют общую точку (1, 3, 4).

6.    Плоскости и  пересекаются по прямой АВ (5, аксиома 5) (рис. 2.382).

7.    Мы доказали, что существует плоскость Р, пересекающая . (6)

Замечание. Если допустить, что точка С лежит на прямой АВ, то она будет лежать и в плоскости , что противоречит выбору точки С.

Двугранные углы

При пересечении плоскостей образуются двугранные углы.

Определение. Фигуру, образованную двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, называют двугранным углом. Прямую называют ребром, а полуплоскости — сторонами или гранями двугранного угла.

На рисунке 2.383 изображен двугранный угол с ребром АВ.

Этот угол можно обозначать двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежит несколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, одна крайняя — у одной грани, другая — у другой (рис. 2.384).

Определение. Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную ребру, то в пересечении этой плоскости с двугранным углом образуется угол, который называют линейным углом двугранного угла.

На рисунке 2.385 изображен линейный угол АОВ двугранного угла АОСВ. Вершиной линейного угла служит точка О, лежащая на ребре ос двугранного угла, а сторонами — лучи граней, исходящие из точки о и перпендикулярные ребру двугранного угла.

Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 2.386).

Определение. Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру любого из его линейных углов.

Определение. Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°).

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Для двугранных углов так же, как и для плоских, вводится понятие его градусной меры — величины.

Определение. Два двугранных угла называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.

Если градусная мера одного из двугранных углов больше градусной меры другого, то говорят, что первый двугранный угол больше второго, а второй меньше первого. На рисунке 2.387 изображены три двугранных угла с общим ребром АВ. Двугранные углы CABD и DABE равны, так как их градусные меры равны 30°. Двугранный угол САВЕ больше двугранного угла CABD.

Подобно плоским углам, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.

Все сказанное можно сформулировать в виде теорем.

Теорема 2. 1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2. Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Верна и обратная теорема.

Теорема 3. 1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2. Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Из теорем 2 и 3 легко получить три следствия.

Следствие 1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.

Следствие 2. Все прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.

Следствие 3. Вертикальные двугранные углы равны.

Пример: 

Докажем теорему 3.

Из условия теоремы имеем:

1.    PABQ и — два данных двугранных угла (рис. 2.388).

2.    Вложим угол  в угол АВ так, чтобы ребро совпало с ребром АВ, а грань  — с гранью Р (построение) (рис. 2.389).

3.    Если эти двугранные углы равны, то грань совпадает с Q; если же двугранные углы не равны, то грань займет некоторое положение, не совпадающее с Q, например положение (1, 2).

4.    Возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В и проведем через нее плоскость , перпендикулярную ребру АВ (построение) (рис. 2.390).

5.    От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы.

Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол cbd; если же двугранные углы не совпадут (если, например, грань займет положение  то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно ) (3, 4).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

• Математика решение заданий и задач

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

В
конце прошлой лекции мы рассмотрели
случай взаимной параллельности двух
плоскостей.

Если
плоскости не будут параллельны, они
будут пересекаться. Возникает одна из
основных позиционных задач — отыскание
/построение/ линии пересечения двух
плоскостей.

При
решении последней задачи следует
рассмотреть различные случаи
расположения пересекающихся плоскостей
относительно плоскостей проекций. Здесь
могут быть 4 случая.

1.
Обе
пересекающиеся плоскости — одноименно
проецирующие.

2. Пересекающиеся плоскости — разноименно проецирующие.

3. Одна из пересекающихся плоскостей — плоскость общего положения, другая — проецирующая.

4. Обе пересекающиеся плоскости являются плоскостями общего положения.

Рассмотрим
эти случаи в том порядке, как они здесь
перечислены.

4.1.1
Построение линии пересечения двух
плоскостей, если обе

плоскости
— одноименно проецирующие.

Рис
4.1.

4.2

На
рис.4.1 даны пересекащиеся
фронтально-проецирующие плоскости

и
.

Их
линия пересечения — прямая m
будет также фронтально-проецирующей
прямой.

На
комплексном чертеже /рис.4.1б/ фронтальная
проекция прямой в виде точки m»
имеется, надо лишь её обозначить.

Горизонтальная
проекция линии пересечения — m‘
строится из уcловия,
что m’
— фронтально-проецирующая прямая.

4.1.2
Построение линии пересечения двух
плоскостей, если плоскости —

разноименно
проецирущие.

На
рис. 4.2 даны горизонтально-проецирущая
плоскость

и
фронтально-проецирующая плоскость
,
которые пересекаются по прямой l.

На
комплексном чертеже /рис.4.2б/ проекции
этой прямой уже имеются, /они совпадают
c
одноименными проекциями плоскостей/ и
эти проекции следует, лишь обозначить.

4.1.3
Построение линии пересечения двух
плоскостей, если

одна
из них — плоскость общего положения,
другая —

проецирующая.

На
рис. 4.3 даны горизонтально-проецирующая
плоскость

и плоскость общего положения
,
которые пересекаются по прямой 1
.

На
рис. 4.4 плоскость общего положения
,
заданная треугольником АВС,
пересекается с фронтально-проецирующей
плоскостью
.

4.3

В
обоих случаях одна проекция линии
пересечения плоскостей определяется
сразу из условия её принадлежности
проецирующей плоскости, это – l’на
рис.4.3 и 1″
на рис.4.4. Другая проекция линии пересечения
легко определяется из условия её
принадлежности плоскости общего
положення.

При
решеши задачи на построение линии
пересечения плоскостей приходиться
решать и вопрос видимости фигур. Так в
задаче, приведенной на рис.4.4, на
горизонтальной проекции часть треугольника
АВС,
лежащая ниже плоскости
,
будет невидимой.

Рассматривая
вышеприведенные задачи можно сделать
вывод, что построение линии пересечения
плоскостей, в том случае, когда хотя-бы
одна из плоскостей является проецирущей,
является очень простой задачей.

По
этой причине в дальнейшем, когда при
решении большого круга позиционных
задач, мы будем вынуждены широко
пользоваться вспомогательными секущими
плоскостями, в качестве последних мы,
как правило, будем использовать
проецирующие плоскости.

Следущая
задача явится примером такого применения
проецирующих плоскостей.

4.1.4
Построение линии пересечения двух
плоскостей, если обе из них

являются
плоскостями общего положения.

Поскольку
линией пересечения двух плоскостей
является прямая, то для её построения
необходимо найти какие-либо две точ

4.4

ки
этой прямой.

На
рис. 4.5а показано как, при помощи двух
вспомогательных секущих плоскостей

1
и
2,
может быть найдена линия пересечения
плоскостей

и

— прямая 1
.
Плоскость
1
дает точку М
этой прямой, плоскость
2
— точку N
.

Рис
4.5

На
рис. 4.5б приведено решение этой задачи,
с помощью того же принципа,на комплексном
чертеже. Здесь плоскость

задана пересекающимися прямыми а
и Ь,
а плоскость

— параллельными прямыми c
и d.

В
качесве секущих плоскостей выбраны
фронтально-проецирующие плоскости
1
и
2.
В данном случае эти плоскости являются
горизонтальными, но они могли-бы ими и
не быть.

Если
плоскости
1
и
2
взяты параллельными, то линии их
пе-ресечения с плоскостями

и

будут также соответственно па-раллельны,
т. е.

На
рис. 4.6 показано построение линии
пересечения плоскостей

и
,
заданных следами. Следы плоскостей в
пределах чертежа пересекаются.

В
этом случае при отыскании линии
пересечения заданных плоскостей нет
необходимости прибегать к помощи
вспомогательных секущих

4.5

плоскостей,
т.к. их роль выполняют сами плоскости
проекций.

Если
же следы плоскостей в пределах чертежа
не пересекаются, тогда, как и в общем
случае, при решении задачи следует
использовать вспомогательные секущие
плоскости.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Задача

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

Решение

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f_0γ1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
5. Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

Алгоритм построения

1. Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h_0α и h_0β. Точка L»₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
2. Находим точку L»₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»₂.
3. Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Алгоритм построения

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f_0σ и 5»=A»С»∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

3. Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

4. Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Определение видимости

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Дополнительные материалы:

Параллельные плоскости.

Плоскости будут параллельными:

• если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно па­раллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 6);
• если плоскости параллельны, то параллельны их одноименные следы (рис. 7).

Плоскости пересекаются

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо

• или найти две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям;
• или найти одну точку, принадлежащей двум плоскостям, и на­правление линии пересечения.

В обоих случаях задача заключается в нахождении точек, общих для двух плоскостей.

Плоскости в пространстве могут занимать различное положение. рассмотрим три случая построения линии их пересечения.

1. Линия пересечения двух проецирующих плоскостей

Если плоскости занимают частное положе­ние, например, как на рис. 8, являются горизон- тально-проецирующими, то проекцией линии пересечения на плоскость проекций, которой данные плоскости перпендикулярны (в данном случае горизонтальной), будет точка. Фронталь­ная проекция линии пересечения перпендику­лярна оси проекций.

1. Линия пересечения плоскости общего положения и проецирую­щей плоскости

В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает с про­екцией проецирующей плоскости на той плоскости проекций, которой она перпендикулярна.

На рис. 9 по­казано построение проекций линии пересечения горизонтально-проецирующей плоскости, заданной следами, c плоскостью общего по­ложения (треугольник ABC).

На горизонтальной проекции (рис. 9) в пересечении следа плоско­сти P_Н и сторон АС и ВС треуголь­ника АВС находим горизонтальные проекции n и m линии пересечения. По линиям связи находим фрон­тальные проекции точек M и N ли­нии пересечения.

При взгляде по стрелке на плоскость V по горизонтальной про­екции видно, что часть треугольника правее линии пересечения МN (mn) находится перед плоскостью Р, то есть будет видимой на фронтальной плоскости проекций. Остальная часть — за плоскостью Р, то есть неви­дима.

Линия пересечения двух плоскостей общего положения

Построение линии пересечения двух плоскостей общего положе­ния осуществляется с помощью дополнительных плоскостей- посредников.

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей за­ключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посред­ник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными. В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построе­ние с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

Соединяем полу­ченные точки М и N и определяем взаимную видимость фигур.

Задача. Построить линию пересечения двух плоских фигур, задан­ных треугольниками с координатами вершин:

ΔABC — A(16,2,0), B(10,9,7), C(1,4,3)

ΔDEF — D (5,9,0), E (16,1,5), F (9,1,9)

На рис. 11 дано построение линии пересечения двух треугольни­ков. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные горизонтально-проецирующие плоскости — плос­кость P через сторону ED и плоскость Q через сторону DF треугольника DEF. Плоскость P пересекает треугольник ABC по прямой 1-2.

В пересе­чении фронтальных проекций 1′-2′ и d’e‘ находим фронтальную проек­цию точки M(m’) линии пересечения. Плоскость Q пересекает треуголь­ник ABC по прямой 3-4. В пересечении фронтальных проекций 3′-4′ и b‘c‘ находим фронтальную проекцию точки N(п’) линии пересечения. Го­ризонтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересече­ния, находим, проводя линии связи.

Соединяем точки M и N. Взаимную видимость треугольников на плоскостях проекций определяем с помощью конкурирующих точек.