Дисперсия статистика 7 класс как найти

Урок по теории вероятностей и статистике в 7 классе

Тема «Отклонения. Дисперсия». 7-й класс

Цель: сформировать у учащихся представление о понятиях “отклонение” и “дисперсия” и навыки их применения в реальных статистических исследованиях

Задачи урока:

• образовательные – показать, что окружающий нас изменчивый мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;
• развивающие– формировать современное мировоззрение и умение ориентироваться в изменчивом информационном мире;
• воспитательные – учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, применять вводимые понятия в практической жизни.

Планируемые результаты:

• знать, что такое отклонение от среднего арифметического и дисперсия;
• уметь вычислять отклонения, квадраты отклонений и дисперсию на коротких наборах;
• уметь применять понятия квадратов отклонений и дисперсии при анализе реальных ситуаций;

Оборудование:

• мультимедийный проектор, экран.

Дидактические материалы:

• карточки с таблицами.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока. (Слайд 1).

II. Актуализация знаний учащихся

На предыдущих уроках мы рассмотрели так называемые средние характеристики числового ряда, позволяющие оценить его поведение “в среднем”. Повторим их определения и способы нахождения.

Слайд 2 – задание на повторение (комментарии учителя, проверка ответов учеников с помощью слайда).

Задание. Дан числовой набор.

Найти среднее арифметическое и медиану, определить, какая из характеристик лучше характеризует числовой набор и почему?

III. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков

Слайд 3 — характеристики числового ряда (комментарии учителя).

Средние характеристики числового ряда (среднее арифметическое, медиана), позволяют оценить поведение ряда “в среднем”. Но это не всегда наиболее полно характеризуют выборку. Чтобы получить полное представление о поведении числового ряда, помимо средних характеристик надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько сильно значения ряда отличаются друг от друга, как сильно они разбросаны вокруг средних.

Рассмотрим следующий пример ( раздать карточки с таблицами, которых нужно заполнять по ходу урока)

Слайд 4-5 – задание 1 (комментарий учителя).

   Международные спортивные игры «Дети Азии» получили свое начало в 1996 г. по инициативе первого Президента Республики Саха (Якутия) М.Е.Николаева и были посвящены 100-летию олимпийского движения. С тех пор они проводятся совместно с Олимпийским комитетом России, Росспортом, Министерством иностранных дел Министерством образования и науки Российской Федерации. Летом 2012 года будет V международная спортивная игра «Дети Азии».

     Для участия в V международных спортивных играх «Дети Азии» нужно выбрать лучших футболистов республики. На одно место футболиста претендуют двое. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были участвовать в отборных играх. Результаты спортсменов представлены в таблице

Вопрос: кого из футболистов предпочтительнее взять на спортивные игры?

Рассчитаем, сколько голов забил каждый из футболистов за 5 сезонов.

Вывод: количество голов одинаково.

Рассчитаем, сколько голов в сезон забивал в среднем каждый футболист. Для этого найдём среднее арифметическое числовых наборов Х и Y.

Среднее арифметическое у обоих футболистов тоже одинаковое.

На данном примере мы увидели, что с помощью средних характеристик сравнение выполнить не всегда возможно.

Как поступить?

В данном случае критерием сравнения может выступать стабильность игры– у какого футболиста количество забитых им голов в сезон менее отличается друг от друга, тот играет стабильнее.

Если количество забитых в сезон голов сильно разнится, то в какой-то сезон футболист играет не в полную силу, забивает меньше голов, а в какой-то сезон навёрстывает упущенное, а это всегда сказывается на качестве игры.

Стабильность можно оценивать с помощью отклонений элементов числового набора от среднего значения (отклонение – это разность между числом из данного набора и средним арифметическим этого набора)

Слайд 6 – пример вычисления отклонений (комментарии учителя).

Отклонение – разность между средним значением и числом набора

Набор отклонений:

Логично предположить, что чем меньше будет разброс (отклонения от среднего значения) – тем стабильнее играет футболист.

Но когда набор чисел велик, рассматривать отклонения практически неудобно, нужно описать разнообразие чисел в наборе одним числом.

Попробуем найти сумму отклонений.

Слайд 6 – пример вычисления суммы отклонений (комментарии учителя, вывод).

-2-4+0+2+4=0

В сумме получилось 0 (т.к. при вычислении “среднего разброса” часть отклонений входит в сумму со знаком “+”, часть со знаком “-” и в сумме всегда получается 0). Следовательно сумма отклонений не может нести информацию о разбросе.

Какой же выход?

Можно суммировать квадраты отклонений (они всегда неотрицательны).

Слайд 7 – пример вычисления квадратов отклонений (комментарии учителя)

Набор квадратов отклонений:

Сумма квадратов отклонений:

4+16+0+4+16 = 40

Чем меньше сумма квадратов отклонений, тем меньше разброс чисел относительно среднего значения, тем более стабилен набор.

Итак, рассчитаем сумму квадратов отклонений для нашего примера.

Вывод: второй футболист играет более стабильно, у него меньше сумма квадратов отклонений. Вероятно, тренер предпочтёт взять на соревнование его.

В данном примере футболисты играли одинаковое количество сезонов. А если они количество сезонов неодинаково?

Тогда стабильность игры каждого можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонений от среднего значения – дисперсии.

Слайд 8 – пример вычисления дисперсии (комментарии учителя).

Дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений:

Dx= (4+16+0+4+16)/5 = 40/5 = 8

Дисперсия – характеристика разброса, мера стабильности.

Чем больше дисперсия, тем ниже стабильность

Рассмотрим следующий пример.

Слайд 9 – задание 2 (комментарии учителя).

(Ученикам открыть лист “Задание 2” файла с заданиями).

Аналогично заданию 1 рассчитаем, сколько голов забил каждый футболист и сумму квадратов отклонений.

Т.к. футболисты играли разное количество сезонов, рассчитаем и сравним дисперсии числовых наборов X и Y.

Вывод: первый футболист играет стабильнее второго.

3. Самостоятельная практическая работа.

Слайд 10 — задание 3.

С 28 марта по 2 апреля в Южной Якутии пройдёт II Спартакиада зимних видов спорта Республики Саха (Якутия). Примут её опять Алдан и Нерюнгри.

     Для участия в II Спартакиаде зимних видов спорта Республики Саха (Якутия)нужно выбрать лучших лыжников района. На одно место претендуют двое. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были участвовать в отборных соревнованиях. Результаты спортсменов на 10 км.представлены в таблице

Вопрос: кого из спортсменов предпочтительнее взять на спартакиаду?

Подвести итог самостоятельной работы.

4. Итог урока.

Слайд 11 – выводы (комментарии учителя).

Слайд 12 – вопросы (ответы учеников).

Изучая математическую статистику в 7-м классе,
важно наглядно представить учащимися образец
для решения практических задач. Именно для этого
мною был разработан данный справочный материал.

1.Представление данных.

1.1. Таблицы

Смета расходов на покупку спортивного
инвентаря.

№	Наименование	Ед. измерения	Количество	Цена (едруб)	Стоимость (руб)
1	Мяч футбольный	Шт.	30	1000
2	Мяч волейбольный	Шт.	15	800	12000
3	Ракетка	Шт.	24	250	6000
4	Воланы	коробка	10	300	3000
	ИТОГО:				51000

За контрольную работу по математике
школьники получили 6 оценок “отлично”, 10 оценок
“хорошо”, 5 оценок “ удовлетворительно” и 3
оценки “не удовлетворительно”.

Столбиковая диаграмма.

 Круговая диаграмма.

Для построения этой диаграммы мы:

1. Разделили 360° на общее число учащихся (24)

360°24=15° (такому углу соответствует
оценка одного учащегося)

2. Затем последовательно умножаем 15° на
   количество учащихся, получивших ту или иную
   оценку.

15°6=90° —
сектор образованный этим углом соответствует
учащимся с оценкой “5”

15°10=150°
— сектор образованный этим углом соответствует
учащимся с оценкой “4”

15°5=75° —
сектор образованный этим углом соответствует
учащимся с оценкой “3”

15°3=45° —
сектор образованный этим углом соответствует
учащимся с оценкой “2”

3. Затем круг делим на полученные сектора,
   подписываем данные.

Диаграмма рассеивания.

Для выявления связи между величинами
применяются диаграммы рассеивания.

В таблице приведены данные о весе и
росте 12 девушек.

1. Описательная статистика

2.1. Среднее значение

Определение: Средним арифметическим
нескольких чисел называется число, равное
отношение суммы этих чисел к их количеству.

Среднее арифметическое набора чисел х_1,х_2,х_3,х_4,х₅
принято обозначать . Например, среднее арифметическое
пяти чисел запишется так:

Здесь в числителе дроби — сумма данных пяти
чисел, а в знаменателе – их количество – 5.

Найти среднюю оценку учащегося по
математике, если за истекший период он получил: 3,
4, 4, 5, 3, 2, 4, 3.

Запишем дробь и вычислим ее значение:

2.2. Медиана

Определение: Число, разделяющее набор
чисел на две части, равные по численности, так что
с одной стороны от этого числа все значения
больше медианы, а с другой – меньше.

Метод вычисления медианы: Чтобы найти
медиану набора чисел нужно:

1. Записать числа в порядке возрастания.
2. Если в полученном наборе нечетное количество
   членов, то медианой служит число стоящее
   посередине.
3. Если в полученном наборе четное количество
   членов, то медианой набора – есть полусумма двух
   чисел, расположенных посередине.

Выберем два центральных числа: 5 и 7. Найдем их
полусумму: (5+7):2=6. То есть медиана
данного набора есть число-6.

2.3. Наибольшее и наименьшее значение и размах.

Очевидно, что наибольшим значением данного
ряда является число 25, тогда как наименьшим число
– 3. Найдем размах данного ряда.

Определение: Разность между наибольшим и
наименьшим числом называется размахом набора
чисел.

Размах показывает насколько велико
рассеивание в числовом наборе. Итак, размах
данного набора равен разности 25 и 3, т.е. 22.

2.4. Отклонение.

Определение: Отклонением данного
значения от среднего арифметического значения
данного набора является разность между этим
числом и средним арифметическим. Соответственно
если некоторое значение меньше среднего, то его
отклонение отрицательно, если больше среднего –
его отклонение положительно. Так же необходимо
помнить, что сумма всех отклонений ряда чисел от
среднего арифметического этих чисел равна нулю.

Вычислим среднее арифметическое этих чисел:

Составим таблицу отклонений.

2.5. Дисперсия.

Определение: Среднее арифметическое
квадратов отклонений от среднего значения
называется дисперсией набора чисел. Дисперсию
обозначают S².

В таблице представлены средние
месячные температуры, в градусах. Вычислите
дисперсию температуры за приведенный период.

1. Вычислим среднюю температуру за 5 месецев.



Итак, средняя температура составила 6
градусов.

2. .Составим таблицу отклонений и их квадратов.

Число (температура)	Отклонение от среднего	Квадрат отклонения
-12	-12-6=-18	(-18)2=324
-7	-13	169
0	-6	36
9	3	9
16	10	100

3. Найдем среднее арифметическое для квадратов
   отклонений от среднего значения

( последний столбец таблицы)

В таблице представлено количество
продаваемых за неделю шоколадок в школьном
буфете. Составьте таблицу изменения продаж по
отношению к понедельнику в процентах.

Суббота -32 32 :0,5 =64

Как найти дисперсию?

Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии — среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: «Дисперсия — это второй центральный момент случайной величины» (напомним, что первый начальный момент — это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором — дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 — (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 — (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором — на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx — left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала — еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Что такое дисперсия в статистике

Статистика, в частности, оперирует рядами данных, характеризующих какой-либо признак, явление. Интересует их изменение.

Вариация представляет собой отличие величин одинакового показателя у разных предметов. Ее изучение позволит понять причины отклонений от нормы, анализировать их и в какой-то мере прогнозировать. Также станет возможным выявить факторы, влияющие на значения, отсеяв случайные.

Характеристики равномерного распределения представлены на картинке:

При значительном объеме статистики, средняя величина очевидно близка к нормальной. Об этом говорят и законы распределения. Отклонения от нее будут являться объективной характеристикой.

Только вот отрицательные значения этих разбросов будут сбивать с толку при расчетах, погашая положительные. А оставлять лишь модули – для математика не корректно. Напрашивается возвести в четную степень, а именно – во вторую.

Решение оказалось не только удобным. Оно открыло бо́льшие возможности в изучении отклонений. А важны именно они, поскольку сама по себе средняя мало что дает.

В качестве одного из важных показателей вариации, вводится понятие «дисперсия» – усредненный квадрат отклонений численных значений каких-либо событий от средней величины. 

Кратко записывается D[X] в русскоязычных источниках и Var[X] (от «variance») в английских. В статистических выкладках используется σ².

Никакого наглядного смысла величина не несет. Другое дело, среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.

Виды дисперсии дискретной случайной величины

Для анализа данных цифр в таком виде недостаточно. Гораздо больше можно выжать из последовательности, если разбить ее на группы по определенному признаку.

Общая дисперсия

Как можно заметить, вычисленная по приведенному выше определению величина характеризует отклонения в целом. Без учета определяющих вариацию факторов. Вернее, с учетом всех, включая совершенно случайные. Поэтому и называется «общей» и рассчитывается по формулам, указанным ниже.

Простая дисперсия, без разделения на группы:

Или в несколько преобразованном виде:

Взвешенная дисперсия, для вариационного ряда:

где x_i – значение из ряда;

f_i – частота, количество повторений;

k – групп;

n – число вариантов.

Черта сверху указывает на среднюю величину.

Межгрупповая дисперсия

Характеризует систематическое отклонение, возникающее из-за фактора, по которому производилось выделение признаков в группы. Поэтому также называется «факторной». 

Как найти данную дисперсию? По формуле:

где k – количество групп;

n_j – элементов в группе с индексом j.

Внутригрупповая дисперсия

Возникает по хаотичной причине, не связанной с причиной сделанной выборки. Неучтенный фактор. Еще обозначается как «остаточная».

Например, рассматривается количество выпущенных деталей за месяц каждым фрезеровщиком цеха. 

В качестве критерия отбора в группу выбираем возраст оборудования. Он-то и не будет влиять на производительность внутри подборки: там станки у всех практически одинаковые.

Если вычислить среднюю величину от всех групповых,

то получим характеристику случайного разброса. Иными словами, составляющую вариации, зависящую от чего угодно, кроме фактора отбора.

Взаимосвязь

В соответствии с правилом сложения, общая D[X] включает средние выражения остаточной и факторной. И это логично, поскольку учитывает и случайное изменение в группе, и систематическое в факторной.

Свойства дисперсии

Опишем основные:

1. Если последовательность состоит из одинаковых чисел, то D[X] будет нулевой.

2. Уменьшение всех значений на постоянную величину на дисперсию не влияет. Иначе говоря, рассчитать σ² можно по отклонениям от фиксированного числа.

3. Уменьшение всех цифр в k раз приведет к падению D[X] в k² раз. Можно, например, иметь в виду значения в метрах, а результат вычислить в футах. Достаточно учесть один раз то, на что следует умножить.

4. Средний квадрат отклонений от постоянной величины X отличается в большую сторону от того же с использованием среднего значения. Разница составит (X_cр – X)².

Показатели вариаций

Кроме размаха (разницы максимального и минимального значений), среднего линейного и дисперсии, изменения описываются коэффициентом вариации:

Оценить масштаб разброса проще по относительной величине. Тем более, что измеряются в одних единицах.

Пример расчета дисперсии

Компания объявила конкурсный отбор для приема сотрудников. В качестве критерия принят стаж работы по специальности. Приведем исходные данные и расчеты.

Усредненный стаж:

Дисперсия:

По альтернативной формуле:

Среднеквадратическое:

Коэффициент вариации:

Заключение

Статистика оперирует значительными объемами данных. Вариация, как одно из основных понятий – не исключение. И дисперсия в качестве основной характеристики. 

Для упрощения расчетов существует масса онлайн калькуляторов. Имеется упомянутый инструмент в MS Excel.