Декартовы координаты как найти середину

Что такое отрезок

Чтобы изучить эту тему досконально, давайте начнем с самого простого: с определения отрезка.

Отрезок называют заглавными буквами латинского алфавита по названию конечных точек. Причем можно расставлять буквы в любом порядке: АВ и ВА — равноценные варианты. Рассмотрите иллюстрацию, посчитайте и назовите все отрезки.

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Что такое середина отрезка

Так, на рисунке ниже D — середина отрезка СК, так как СD = DK. Обратите внимание, как на чертеже обозначаются равные по длине отрезки — мы ставим на них равное количество черточек.

Главный вопрос, который нас сегодня интересует, это координаты середины отрезка.

Мы можем рассмотреть отрезок, который лежит на координатной прямой, тогда координата будет одна. В Декартовой системе координат оХУ будет две координаты, причем вначале записывают х, потом у. Например: С (5; 3): К (4; 8). Еще мы можем поместить отрезок в трехмерное пространство, тогда у каждой точки будет три координаты: х, у, z.

Кажется, что чем дальше, тем сложнее, но на самом деле это не совсем так. Хорошая новость: в каждом из случаев мы будем использовать один и тот же принцип, так что вы обязательно во всем разберетесь!

Как найти координаты середины отрезка на координатной прямой

Изобразим горизонтальную координатную прямую оХ и отметим на ней две точки: М и L. Координату точки М запишем как Хм, точки L — соответственно XL. Поставим лежащую на отрезке точку А — середину ML, MA = LA.

Определим координаты точек: Хм = {2}, XL = {8}. Чтобы найти середину отрезка, воспользуемся формулой X_A=(X_M+X_L)/2 и получим:

Х_А = (2 + 8)/2 = 5.

Проверим, верна ли формула. Для этого определим координаты середины отрезка графическим методом.Действительно: фактическая координата точки А совпадает со значением, которое мы получили.

Подумайте, взяли ли мы эту формулу случайно или же ее можно вывести. Да, конечно, второй вариант верный — в математике не используют ничего непроверенного. Давайте посмотрим, каким образом можно доказать истинность формулы, тем более, что мы возьмем ее за основу при решении более сложных задач.

1. Точка А — это середина отрезка, а значит, MA = LA.

2. Расстояние между точками можно рассчитать через разность модулей их координат: │Х_А – Х_М│=│Х_L – Х_А│.

3. Преобразуем правую часть, вынесем знак минуса: Х_А – Х_М= — (Х_А –Х_L).

4. Перенесем Х_А в левую часть, а все остальное — в правую: 2Х_А= Х_L+ Х_М.

5. Найдем Х_А: Х_А = (Х_L + Х_М)/2.

Вот мы и вывели формулу координат середины отрезков! Чтобы лучше закрепить материал, сделаем пару заданий.

Задача 1

Определите координаты середины отрезка АВ, если Х_А = –2, Х_B = 10.

Решение

Обозначим точку середины отрезка буквой Т. Тогда Хт = (Х_А + Х_B)/2 = (–2 + 10)/2 = 4.

Ответ: Хк = {4}.

Задача 2

Определите координаты начала отрезка КМ с серединой в точке Н, если Х_м = 5, Х_н = 10.

Решение

Вначале запишем формулу для середины отрезка: Х_н = (Х_к + Х_м)/2. Выразим Х_к через нее:

Х_н = (Х_к + Х_м)/2,
2Х_н = (Х_к + Х_м),
2Х_н – Х_м = Х_к,
Х_к = 2Х_н – Х_м = 2 * 5 – 10 = 0.

Ответ: Хк = {0}

Как найти середину отрезка на плоскости

В Декартовой системе координат у каждой точки есть две координаты: по оси оХ и оУ. Изобразим отрезок АВ с координатами А (1; 3), В (3; 6) и точкой С — серединой отрезка.

Чтобы найти координаты точки С, мы воспользуемся уже известной нам формулой, но применим ее к каждой координате в отдельности. Вначале рассчитаем Х_с:

Х_с = (Х_А + Х_B)/2 = (1 + 3)/2 = 2.

Тогда У_C = (У_A + У_B)/2 = (3 + 6)/2 = 4,5. Значит С (2; 4,5).

Не пугайтесь, если отрезок на чертеже параллелен оси оХ или оУ: мы четко идем по нашему алгоритму и ничего не меняем.

Важно заметить: если отрезок параллелен оси оУ, координаты концов и середины отрезка по оХ будут совпадать, Х_А = Х_С = Х_В. Если же отрезок параллелен оси оХ, совпадут координаты по оУ: У_А = У_В = У_С.

И вновь пришло время задачек. Давайте разберем несколько примеров решения.

Задача 3

В системе координат находятся две точки: С (–6; 4) и К (2; 8). Определите координаты середины отрезка.

Решение

Обозначим середину отрезка точкой О. Тогда:

Х_О = (Х_С + Х_К)/2 = (–6 + 2)/2 = –2,
У_О = (У_С + У_К)/2 = (4 + 8)/2 = 6.

Ответ: О (-2; 6).

Задача 4

Дан треугольник с вершинами АВС: А (-2; 4), В (4; 6), С (3; -5). Определите координаты точки М — медианы ВМ.

Решение

Медиана — отрезок, который проведен из вершины треугольника и делит противоположную сторону пополам. А значит, медиана ВМ делит на равные части сторону АС, АМ = МС. Тогда:

Х_М = (Х_А + Х_С)/2 = (–2 + 3)/2 = 0,5,
У_М = (У_А + У_С)/2 = (4 – 5)/2 = –0,5.

Ответ: М (0,5; –0,5).

Координаты середины отрезка в пространстве

Вспомните, чем пространство отличается от плоскости. Правильно, третьим измерением! В том смысле, что добавляется еще одна координатная ось: оZ. Как это выглядит, можно посмотреть на рисунке ниже.

При этом формула нахождения середины отрезка остается неизменной. Если мы изобразим в трехмерном пространстве отрезок АВ с серединой в точке С, тогда:

Х_С = (Х_А + Х_В)/2,
У_С = (У_А + У_В)/2,
Z_С = (Z_А + Z_В)/2.

Координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов

По сути, этот способ нельзя назвать каким-то новым и уникальным. Он лишь еще раз доказывает истинность формулы координат середины отрезков, только через алгебру. Чтобы разобраться в нем, давайте сначала вспомним определение вектора.

Векторы — достаточно обширная тема. Чтобы разобраться в ней, не хватит и двух статей. Но сейчас мы с вами будем использовать всего несколько тезисов, которые помогут разобраться в теме.

1. Векторы можно изображать в системах координат оХУ и оХYZ, т. е. в двумерной и трехмерной.

2. Координаты начала и конца векторов записывают так же, как и для отрезков: (x; y) и (x; y; z).

3. Сумму векторов можно найти по методу треугольника или параллелограмма. Картинка ниже поможет вам вспомнить, как ими пользоваться.

Давайте разберемся, как доказать формулу для нахождения координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов. В Декартовой системе координат нарисуем вектор

с серединой в точке К. Координаты точки А (Х_А; У_А; Z_А), К (Х_К; У_К; Z_К), С (Х_С; У_С; Z_С).Проведем радиус-векторы

,

,

.

Согласно определению середины отрезка: ОК = ½(ОС + ОА). Координаты векторов ОА, ОК, ОС соответственно равны координатам точек А, К, С, так как координаты точки О (0; 0; 0).

ОА (Х_А – 0, У_А – 0, Z_А – 0) = (Х_А; У_А; Z_А),
ОК (Х_К – 0, У_К – 0, Z_К – 0) = (Х_К; У_К; Z_К,),
ОС (Х_С– 0, У_С – 0, Z_С – 0) = (Х_С; У_С; Z_С).

Тогда запишем равенство ОК = ½(ОС + ОА) через координаты:

Х_К = 1/2(Х_А + Х_О),
У_К = 1/2(У_А + У_О),
Z_К = 1/2(Z_А + Z_О).

Напоследок мы сделаем небольшой перерыв, забудем про формулы и числа. Давайте подумаем, как можно найти середину отрезка, если мы не знаем координат его концов.

Например, нарисуем отрезок на песчаном пляже во время каникул. Определить точные координаты в таком случае будет достаточно сложно, правда? Вряд ли вы взяли с собой в отпуск набор линеек, чтобы вычислить длину отрезка. С подобным заданием вы могли столкнуться и на уроках геометрии, где учитель раздавал вам чистые нелинованные листы бумаги и просил найти середину отрезка без использования линейки.

Сейчас мы обучим вас волшебному методу, приготовьтесь! Все что вам понадобится — это циркуль. Нарисуем на бумаге отрезок АВ любой длины. Поставим иголку циркуля в точку А и начертим окружность с радиусом, равным АВ. Далее повторим действие — прочертим такую же окружность с центром в точке В.

Мы видим, что окружности пересеклись дважды: снизу и сверху. Если соединить эти две точки, эта прямая пересечет наш исходный отрезок ровно в его середине.

Скептики вспомнят наш пример с пляжем и скажут: «Линейку мы с собой в отпуск не берем, но и циркуль ведь тоже! Что вы скажете на это?» А ответим мы вот что: приходите на курсы по профильной математики в Skysmart! Там вы научитесь не только заменять настоящий циркуль на самодельный, но еще подготовитесь к экзаменам, разовьете логику и узнаете много всего интересного. Ждем вас на занятиях!

Содержание:

Декартовы координаты на плоскости:

Изучая материал этой лекции, вы расширите свои знания о координатной плоскости.

Вы научитесь находить длину отрезка и координаты его середины, зная координаты его концов.

Сформируете представление об уравнении фигуры, выведете уравнения прямой и окружности.

Ознакомитесь с методом координат, позволяющим решать геометрические задачи средствами алгебры.

Расстояние между двумя точками с заданными координатами. Координаты середины отрезка

В 6 классе вы ознакомились с координатной плоскостью, то есть с плоскостью, на которой изображены две перпендикулярные координатные прямые (ось абсцисс и ось ординат) с общим началом отсчета (рис. 8.1). Вы умеете отмечать на ней точки по их координатам и наоборот, находить координаты точки, отмеченной на координатной плоскости.

Договорились координатную плоскость с осью

Координаты точки на плоскости называют декартовыми координатами в честь французского математика Рене Декарта (см. рассказ на с. 103).

Вы знаете, как находить расстояние в между двумя точками, заданными своими координатами на координатной прямой. Для точек (рис. 8.2) имеем:

Научимся находить расстояние между точками заданными на плоскости

Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.3).

Через точки проведем прямые, перпендикулярные координатным осям. Получим прямоугольный треугольник в котором Отсюда

Тогда формулу расстояния между точками можно записать так:

Докажите самостоятельно, что эта формула остается верной и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат.

Пусть — точки плоскости Найдем координаты точки — середины отрезка

Рассмотрим случай, когда отрезок не перпендикулярен ни одной из координатных осей (рис. 8.4). Будем считать, что (случай, когда рассматривается аналогично). Через точки проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, которые пересекут эту ось соответственно в точках По теореме Фалеса тогда Поскольку то можем записать: Отсюда Аналогично можно показать что

Формулы для нахождения координат середины отрезка остаются верными и для случая, когда отрезок перпендикулярен одной из осей координат. Докажите это самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что треугольник с вершинами в точках является равнобедренным прямоугольным.

Решение:

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем стороны данного треугольника:

Следовательно, то есть треугольник равнобедренный.

Поскольку то треугольник прямоугольный.

Пример №2

Точка — середина отрезка Найдите координаты точки

Решение:

Обозначим — координаты точки — координаты точки — координаты точки

Поскольку то получаем:

Аналогично

Ответ:

Пример №3

Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках является прямоугольником.

Решение:

Пусть точка — середина диагонали Тогда

Следовательно,

Пусть точка — середина диагонали Тогда

Следовательно,

Таким образом, точки совпадают, то есть диагонали четырехугольника имеют общую середину. Отсюда следует, что четырехугольник — параллелограмм.

Найдем диагонали параллелограмма:

Следовательно, диагонали параллелограмма равны. Отсюда следует, что этот параллелограмм является прямоугольником.

Уравнение фигуры. Уравнение окружности

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, какую фигуру называют графиком уравнения. В этом пункте вы ознакомитесь с понятием уравнения фигуры.

Координаты каждой точки параболы, изображенной на рисунке 9.1, являются решением уравнения И наоборот, каждое решение уравнения с двумя переменными является координатами точки, лежащей на этой параболе. В этом случае говорят, что уравнение параболы, изображенной на рисунке 9.1, имеет вид

Определение. Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:

1. если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;
2. любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре

Например, уравнение прямой, изображенной на рисунке 9.2, имеет вид а уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 9.3, имеет вид Принято говорить, что, например, уравнения задают прямую и гиперболу соответственно.

Если данное уравнение является уравнением фигуры то эту фигуру можно рассматривать как геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Пользуясь этими соображениями, выведем уравнение окружности радиуса с центром в точке

Пусть — произвольная точка данной окружности (рис. 9.4). Тогда Используя формулу расстояния между точками, получим:

Отсюда

Мы показали, что координаты произвольной точки данной окружности являются решением уравнения Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной окружности.

Пусть пара чисел — произвольное решение уравнения

Тогда Отсюда

Это равенство показывает, что точка удалена от центра окружности на расстояние, равное радиусу окружности, а следовательно, точка принадлежит данной окружности.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 9.1. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами

Если центром окружности является начало координат (рис. 9.5), то В этом случае уравнение окружности имеет вид

Пример №4

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок если

Решение:

Поскольку центр окружности является серединой диаметра, то можем найти координаты центра окружности:

Следовательно,

Радиус окружности равен отрезку Тогда

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Пример №5

Докажите, что уравнение задает окружность. Найдите координаты центра и радиус этой окружности.

Решение:

Представим данное уравнение в виде

Следовательно, данное уравнение является уравнением окружности с центром в точке и радиусом

Ответ:

Пример №6

Докажите, что треугольник с вершинами в точках является прямоугольным, и составьте уравнение окружности, описанной около треугольника

Решение:

Найдем квадраты сторон данного треугольника:

Поскольку то данный треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине Центром описанной окружности является середина гипотенузы — точка радиус окружности Следовательно, искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Уравнение прямой

В предыдущем пункте, рассматривая окружность как ГМТ, равноудаленных от данной точки, мы вывели ее уравнение. Для того чтобы вывести уравнение прямой, рассмотрим ее как ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

Пусть — данная прямая. Выберем две точки и так, чтобы прямая была серединным перпендикуляром отрезка (рис. 10.1).

Пусть — произвольная точка прямой Тогда по свойству серединного перпендикуляра отрезка выполняется равенство то есть

Мы показали, что координаты произвольной точки прямой являются решением уравнения

Теперь покажем, что любое решение уравнения является координатами точки, принадлежащей данной прямой

Пусть — произвольное решение уравнения Тогда Это равенство означает, что точка равноудалена от точек следовательно, точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка то есть прямой

Итак, мы доказали, что уравнение является уравнением данной прямой

Однако из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение прямой выглядит гораздо проще, а именно: где и — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Покажем, что уравнение можно преобразовать к такому виду. Возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим:

Обозначив получим уравнение

Поскольку точки различны, то хотя бы одна из разностей не равна нулю. Следовательно, числа и не равны нулю одновременно.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 10.1. Уравнение прямой имеет вид?

где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно.

Верно и такое утверждение: любое уравнение вида где — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если то графиком уравнения является вся плоскость Если то уравнение не имеет решений.

Из курса алгебры 7 класса вы знаете, что уравнение вида называют линейным уравнением с двумя переменными. Уравнение прямой является частным видом линейного уравнения. Схема, изображенная на рисунке 10.2, иллюстрирует сказанное.

на уроках алгебры в 7 классе мы приняли без доказательства тот факт, что графиком линейной функции является прямая. Сейчас мы можем это доказать.

Перепишем уравнение Мы получили уравнение вида для случая, когда Поскольку в этом уравнении то мы получили уравнение прямой.

А любую ли прямую на плоскости можно задать уравнением вида Ответ на этот вопрос отрицательный.

Дело в том, что прямая, перпендикулярная оси абсцисс, не может являться графиком функции, а следовательно, не может быть задана уравнением вида

Вместе с тем, если в уравнении прямой принять то его можно переписать так: Мы получили частный вид уравнения прямой, все точки которой имеют одинаковые абсциссы. Следовательно, эта прямая перпендикулярна оси абсцисс. Ее называют вертикальной.

Если то уравнение прямой можно записать так:

Обозначив получим уравнение

Следовательно, если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.

Уравнение невертикальной прямой удобно записывать в виде

Данная таблица подытоживает материал, рассмотренный в этом пункте.

Пример №7

Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

Решение:

1) Поскольку данные точки имеют равные абсциссы, то прямая является вертикальной. Ее уравнение имеет вид

2) Поскольку данные точки имеют разные абсциссы, то прямая не является вертикальной. Тогда можно воспользоваться уравнением прямой в виде

Подставив координаты точек в уравнение получаем систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, находим, что

Ответ:

Пример №8

Найдите периметр и площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат.

Решение:

Найдем точки пересечения данной прямой с осями координат.

С осью абсцисс: при получаем

С осью ординат: при получаем

Следовательно, данная прямая и оси координат ограничивают прямоугольный треугольник (рис. 10.3) с вершинами Найдем стороны треугольника:

Тогда искомые периметр и площадь соответственно равны

Ответ:

Угловой коэффициент прямой

Рассмотрим уравнение Оно задает невертикальную прямую, проходящую через начало координат.

Покажем, что прямые где параллельны.

Точки принадлежат прямой а точки и принадлежат прямой (рис. 11.1). Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что середины диагоналей четырехугольника совпадают. Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда

Теперь мы можем сделать такой вывод: если то прямые параллельны (1).

Пусть прямая пересекает единичную полуокружность в точке (рис. 11.2). Угол называют углом между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Если прямая совпадает с осью абсцисс, то угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс считают равным

Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс угол то считают, что и прямая параллельная прямой также образует угол с положительным направлением оси абсцисс (рис. 11.3).

Рассмотрим прямую уравнение которой имеет вид (рис. 11.2). Если Поскольку точка принадлежит прямой Отсюда Таким образом, для прямой получаем, что

где — угол, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент называют угловым коэффициентом этой прямой.

Если невертикальные прямые параллельны, то они образуют равные углы с положительным направлением оси абсцисс. Тогда тангенсы этих углов равны, следовательно, равны и их угловые коэффициенты. Таким образом,

если прямые параллельны, то (2).

Выводы (1) и (2) объединим в одну теорему.

Теорема 11.1. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда

Пример №9

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна прямой

Решение:

Пусть уравнение искомой прямой Поскольку эта прямая и прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, то есть

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Учитывая, что данная прямая проходит через точку получаем: Отсюда

Искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Метод координат

Мы часто говорим: прямая парабола окружность тем самым отождествляя фигуру с ее уравнением. Такой подход позволяет сводить задачу о поиске свойств фигуры к задаче об исследовании ее уравнения. В этом и состоит суть метода координат.

Проиллюстрируем сказанное на таком примере.

Из наглядных соображений очевидно, что прямая и окружность имеют не более двух общих точек. Однако это утверждение не является аксиомой, поэтому его надо доказывать.

Эта задача сводится к исследованию количества решений системы уравнений

где числа одновременно не равны нулю и

Решая эту систему методом подстановки, мы получим квадратное уравнение, которое может иметь два решения, одно решение или вообще не иметь решений. Следовательно, для данной системы существует три возможных случая:

1. система имеет два решения — прямая и окружность пересекаются в двух точках;
2. система имеет одно решение — прямая касается окружности;
3. система не имеет решений — прямая и окружность не имеют общих точек.

С каждым из этих случаев вы встречались, решая задачи 10.17-10.19.

Метод координат особенно эффективен в тех случаях, когда требуется найти фигуру, все точки которой обладают некоторым свойством, то есть найти геометрическое место точек.

Отметим на плоскости две точки Вы хорошо знаете, какой фигурой является геометрическое место точек таких, что

Это серединный перпендикуляр отрезка Интересно выяснить, какую фигуру образуют все точки для которых Решим эту задачу для

Плоскость, на которой отмечены точки «превратим» в координатную. Сделаем это так: в качестве начала координат выберем точку в качестве единичного отрезка — отрезок ось абсцисс проведем так, чтобы точка имела координаты (рис. 11.6).

Пусть — произвольная точка искомой фигуры Тогда Отсюда

Следовательно, если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением уравнения

Пусть — некоторое решение уравнения Тогда легко показать, что А это означает, что точка такова, что Тогда Следовательно, точка принадлежит фигуре

Таким образом, уравнением фигуры является уравнение то есть фигура — это окружность с центром в точке и радиусом

Мы решили задачу для частного случая, когда Можно показать, что искомой фигурой для любого положительного будет окружность. Эту окружность называют окружностью Аполлония

Как строили мост между геометрией и алгеброй

Идея координат зародилась очень давно. Ведь еще в старину люди изучали Землю, наблюдали звезды, а по результатам своих исследований составляли карты, схемы.

Во II в. до н. э. древнегреческий ученый Гиппарх впервые использовал идею координат для определения места расположения объектов на поверхности Земли.

Только в XIV в. французский ученый Николя Орем (ок. 1323-1382) впервые применил в математике идею Гиппарха: он разбил плоскость на клетки (как разбита страница вашей тетради) и стал задавать положение точек широтой и долготой.

Однако огромные возможности применения этой идеи были раскрыты лишь в XVII в. в работах выдающихся французских математиков Пьера Ферма и Рене Декарта. В своих трудах эти ученые показали, как благодаря системе координат можно переходить от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре.

Несмотря на то что П. Ферма опубликовал свою роботу на год раньше Р. Декарта, систему координат, которой мы сегодня пользуемся, называют декартовой. Р. Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» предложил новую удобную буквенную символику, которой с незначительными изменениями мы пользуемся и сегодня. Вслед за Декартом мы обозначаем переменные последними буквами латинского алфавита а коэффициенты — первыми: Привычные нам обозначения степеней и т. д. также ввел Р. Декарт.

Справочный материал

Расстояние между двумя точками

Расстояние между точками можно найти по формуле

Координаты середины отрезка

Координаты середины отрезка с концами можно найти по формулам:

Уравнение фигуры

Уравнением фигуры заданной на плоскости называют уравнение с двумя переменными обладающее следующими свойствами:

1) если точка принадлежит фигуре то ее координаты являются решением данного уравнения;

2) любое решение данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

Любое уравнение вида где — некоторые числа, причем является уравнением окружности радиуса с центром в точке с координатами

Уравнение прямой

Уравнение прямой имеет вид — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно. Любое уравнение вида — некоторые числа, причем не равны нулю одновременно, является уравнением прямой.

Если то уравнение прямой задает вертикальную прямую; если то это уравнение задает невертикальную прямую.

Угловой коэффициент прямой

Коэффициент в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой, и он равен тангенсу угла, который образует эта прямая с положительным направлением оси абсцисс.

Необходимое и достаточное условие параллельности невертикальных прямых

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

• Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

  xc =	xa + xb		yc =	ya + yb
  2	2

• Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

  xc =	xa + xb		yc =	ya + yb		zc =	za + zb
  2	2	2

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости

Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве

Основное определение отрезка

Прямую АВ можно получить путем удлинения отрезка, который состоит из двух точек. Вследствие чего, можно сказать, что полученный отрезок АВ — это часть прямой, которая ограничена точками А и В. Отрезок объединяет обе точки, которые являются концами прямой, а также множество других точек, лежащих на отрезке.  

Например: дана точка К которая расположена между заданными отметками, следовательно, можно сказать, что данная точка лежит на этом отрезке.

Середина отрезка на координатной прямой

Заданы следующие параметры: координатная прямая Ox; точки А и В, которые не совпадают с данной прямой.

Заданным точкам соответствуют действительные числовые значения [x_{A}] и [x_{B}]. Координата С — это середина отрезка А и В. Исходя из этого нужно определить значение координаты [x_{C}] .

AB = |a — b|, где A и B — это произвольные точки, расстояние между которыми надо найти, то есть, найти длину отрезка AB, a и b — координаты точек.
Выражение |a — b| можно заменить выражением |b — a|, так как a — b и b — a являются противоположными числами и их модули равны.
Следовательно, чтобы найти расстояние между точками координатной прямой надо из координаты одной точки вычесть координату другой точки.

Середина отрезка на плоскости

Зададим следующие параметры: прямоугольная система координат относительно заданной плоскости Oxy; две произвольно расположенные несовпадающие точки, для которых заданы координаты [mathrm{A}left(x_{A} y_{A}right)] и [Bleft(chi_{B} chi_{B}right)]. Точка C — это заданная середина отрезка АВ. Нужно вычислить координаты [x_{C}] и [y_{C}] относительно точки С.

Чтобы правильно проанализировать задачу, возьмем случай, когда точки A и В между собой не совпадают и расположены на одной координатной плоскости.

В свою очередь координатная плоскость является перпендикулярной относительной одной из осей.

Координаты отметок [A_{x} A_{y} B_{x} B_{y} C_{x} C_{y}] — это проекции точек А, В, С.

Согласно построению, все прямые можно назвать параллельными; прямые также параллельны между собой. Принимая во внимание данное свойство и теорему Фалеса из равенства А С   =   С В следуют, что все  равенства между собой равны. Также они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка [C_{x}] – это середина отрезка [A_{x}] и [B_{x}], [C_{y}] а – середина отрезка [A_{y}] и [B_{y}].

Опираясь на полученное выражение получаем основное уравнение середины отрезка на координатной плоскости. 

[x_{c}=frac{x_{A}+x_{B}}{2}text { и } y_{c}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}]

Данным набором формул можно использовать, когда точки А и B лежат на одной координатной плоскости или прямой. Которая соответственно перпендикулярна относительной одной из осей.

В данном случае координаты отрезка будут определяться по следующей формуле:

[x_{C}=frac{x_{A}+x_{B}}{2} text{ и } y_{c}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}]

Параметры середины отрезка в пространстве

Для выведения основной формулы для решения подобного рода задач, нужно рассмотреть конкретный пример.

Дана система координат, две произвольные координатные точки с конкретными координатами [mathrm{A}left(A_{x} A_{y} A_{z}right)] и [mathrm{B}left(B_{chi} B_{y} B_{z}right)]. Нужно определить отметку точки C, которая в свою очередь будет являться серединой отрезка.

Согласно основной теоремы Фалеса, все равенства между собой являются равными. Следовательно, значение точек С будут являться серединами отрезков, каждой координатной плоскости, коих имеется три.

Можно составить и записать окончательную формулу для определения середины прямой при координатной плоскости, состоящей более чем двух осей.

[x_{c}=frac{x_{A}+x_{B}}{2} text{ и } y_{C}=frac{y_{A}+y_{B}}{2}, z_{c}=frac{z_{A}+z_{B}}{2}]

Данные формулы также можно применять в случаях, когда точки A и B расположены на одной из координатных прямых. Либо на прямой, которая перпендикулярна относительно одной из осей. Есть еще случай, когда точки расположены в одной координатной плоскости, которая перпендикулярна одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для определения отметок середины отрезка, можно определить применяя алгебраическое правило решения векторных выражений.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с конкретно заданными координатами [mathrm{A}left(A_{x} A_{y}right)] и [text { B }left(B_{x} B_{y}right)].

Точка  C – это середина отрезка с точками А и В.

Согласно геометрическому правилу и определению, действия над векторами будет выглядеть следующим образом:

[overline{O C}=frac{1}{2} cdot(overline{O A}+overline{O B}).]

Координата С в данной ситуации — это значение, в которой пересекаются диагонали геометрической фигуры параллелограмм. Данная фигура построена на основании следующих векторов  [overline{O A}] и [overline{O B}], иными словами — это точка середины диагоналей.

Координатные показатели радиуса — это векторные показатели, которые  равны координатам, тогда будут верны и равенства: [overline{O A}left(x_{A} y_{A}right)] и [overline{O B}left(x_{B} y_{B}right)].

Выполним следующие действия над векторными значениями и получим следующие формулы:

[overline{O C}=frac{1}{2} cdot(overline{O A}+overline{O B})=left(frac{x_{A}+y_{B}}{2}, frac{y_{A}+y_{B}}{2}right).]

Следовательно, заданная координата С обладает данными:

[left(frac{x_{A}+y_{B}}{2}, frac{y_{A}+y_{B}}{2}right).]

Аналогичным образом определяется нахождение координат середины заданного отрезка в пространстве.

[Cleft(frac{x_{A}+y_{B}}{2}, frac{y_{A}+y_{B}}{2}, frac{z_{A}+z_{B}}{2}right)]

Примеры решения задачи, при нахождении точки середины отрезка