Гоночный автомобиль проехал 15 кругов по трассе функция k n показывает
Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние L делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:
Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.
Приведем арифметическое решение.
Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой — 
круга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна 
круга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или 
круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего 
круга. Поэтому необходимое время равно 
часа или 240 минут.
Приведем другое решение.
Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.
Помещаем решение в общем виде.
Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.
Пусть в первый раз стрелки встретятся через t1 минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1, т. е. t1 = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1 + 360, откуда t1 = (60h − 11m + 720)/11 (**).
Пусть во второй раз стрелки встретятся через t2 минут после первого, тогда 0,5t2 = 6t2 − 360, откуда t2 = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.
Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: tn = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или tn = (60h − 11m + 720n − 720)/11.
Задачи ЕГЭ на движение по окружности
Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Автомобили стартовали одновременно, и первый автомобиль через 20 минут после старта опережал второй автомобиль на один круг. Значит, за эти 20 минут, то есть за часа он проехал на 1 круг больше – то есть на 8 км больше.
Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.
Запишем эти данные в таблицу:
| велосипедист |
| мотоциклист |
Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.
Нарисуем вторую таблицу.
| велосипедист |
| мотоциклист |
А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:
Решим получившуюся систему.
Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:
Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа — в третий, и еще через часа — в четвертый.
Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! 🙂
На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:
Если участков пути было два, то
А сейчас покажем вам один из секретов решения текстовых задач. Что делать, если у вас получился в уравнении пятизначный дискриминант? Да, это реальная ситуация! Это может встретиться в варианте ЕГЭ.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
Первый гонщик через 15 минут после старта обогнал второго на 1 круг. Значит, за 15 минут он проехал на 1 круг, то есть на 3 километра больше. За час он проедет на километров больше. Его скорость на 12 км/ч больше, чем скорость второго.
Как всегда, составляем таблицу и уравнение. 10 минут переведем в часы. Это часа.
Честно преобразовав это уравнение к квадратному, получим:
Пятизначный дискриминант, вот повезло! Но есть и другой способ решения, и он намного проще.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:
Заметим, что 180 делится на 12. Сделаем замену:
Это уравнение легко привести к квадратному и решить.
Целый положительный корень этого уравнения: Тогда
Мы решили текстовую задачу с помощью замены переменной. Этот прием в математике используется везде: в решении задач, уравнений и неравенств, в задачах с параметрами и интегрировании. Общее правило: можете сделать замену переменной – сделайте.
Гоночный автомобиль проехал 15 кругов по трассе функция k n показывает
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через 
часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому
Таким образом, мотоциклисты поравняются через 
часа или через 20 минут.
Приведём другое решение.
Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорость второго автомобиля равна 
км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем
Добрый день, на мой взгляд, гораздо проще сменить систему отсчёта( Найдём скорость удаления(21) и (80-21=59).
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.
C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.
Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.
Вы утверждаете что второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут и за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час, но это означает, что велосипедист остановился в той точке, где мотоциклист догнал его первый раз, и оставался в ней неподвижно, пока мотоциклист проезжал круг и возвращался в эту точку. Но на самом-то деле велосипедист двигался 30 мин, пока мотоциклист проезжал круг. Значит, чтобы мотоциклист догнал велосипедиста мотоциклисту нужно проехать 30 км + расстояние, которое прошел велосипедист, пока двигался мотоциклист.
Вы правы в том, что они двигались одновременно и второй раз встретились в другой точке. Это не противоречит сказанному в решении: при этом мотоциклист проехал на 30 км больше.
Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние L делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:
Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.
Приведем арифметическое решение.
Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой — круга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна круга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего круга. Поэтому необходимое время равно часа или 240 минут.
Приведем другое решение.
Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.
Помещаем решение в общем виде.
Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.
Пусть в первый раз стрелки встретятся через t1 минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1, т. е. t1 = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1 + 360, откуда t1 = (60h − 11m + 720)/11 (**).
Пусть во второй раз стрелки встретятся через t2 минут после первого, тогда 0,5t2 = 6t2 − 360, откуда t2 = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.
Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: tn = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или tn = (60h − 11m + 720n − 720)/11.
Гоночный автомобиль проехал 15 кругов по трассе функция k n показывает
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 45 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 5,4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 27 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 18 минут? Ответ дайте в км/ч.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
Первый обогнал второго на 3 км за четверть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна 
км/ч. Обозначим скорость второго гонщика 
км/ч, тогда скорость первого 
км/ч. Составим и решим уравнение:
Таким образом, скорость второго гонщика равна 108 км/ч.
Гоночный автомобиль проехал 15 кругов по трассе функция k n показывает
Автомобиль массой 2 т проезжает верхнюю точку выпуклого моста, двигаясь с постоянной по модулю скоростью 36 км/ч. Радиус кривизны моста равен 40 м. Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения, характеризующих движение автомобиля по мосту.
1) Равнодействующая сил, действующих на автомобиль в верхней точке моста, сонаправлена с его скоростью.
2) Сила, с которой мост действует на автомобиль в верхней точке моста, меньше 20 000 Н и направлена вертикально вниз.
3) В верхней точке моста автомобиль действует на мост с силой, равной 15 000 Н.
5) Ускорение автомобиля в верхней точке моста направлено противоположно его скорости.
Переведем скорость 
Рассмотрим рисунок, поясняющий движение автомобиля по выпуклому мосту.
1. Неверно. Равнодействующая сил реакции опоры N и силы тяжести mg по второму закону Ньютона сонаправлена с вектором ускорения. А т. к. автомобиль движется по окружности, то ускорение направлено к центру окружности, т. е. вниз. Следовательно, и равнодействующая направлена вниз. Скорость автомобиля при движении по окружности направлена по касательной (в данном случае — горизонтально).
2. Неверно. Сила, с которой мост действует на автомобиль — сила реакции опоры — направлена вертикально вверх.
3. Верно. Сила, с которой автомобиль действует на мост, равна весу тела. По третьему закону Ньютона P = N. Найдём силу реакции опоры по второму закону Ньютона 
Центростремительное ускорение равно 
Значит, Р = 15 кН.
4. Верно. (см. пункт 3).
5. Неверно. Вектор ускорения направлен вертикально вниз, вектор скорости — горизонтально (см. пункт 1).