Два грузовика работая совместно вывозят снег с улицы нижняя подгорная причем первый грузовик должен
Актуальность данного исследования связана с научными открытиями теории вероятности, с применением этих методов в практических задачах, которые могут встречаться в таких науках как экономика, физика, химия, генетика и другие технические науки.
Новизна работ в основном связана с применением методов теории вероятности в решении практических задач.
Цель исследования – познакомить учащегося с основами теории вероятности с теоретическими и практическими, в том числе и для решения сложных задач.
В соответствии с поставленной целью исследовательского проекта решаются следующие задачи:
Выяснить основные понятия теории вероятностей и формулы нахождения вероятности событий
Научиться рациональным способом решать задачи
Создать сборник задач по теории вероятностей для подготовки к ЕГЭ
Практическая значимость. Вероятностные схемы широко применяются в физике, химии, генетике, экономике и технических науках. Поэтому все эти задачи рассмотрены в данном сборнике задач по теории вероятности для ЕГЭ.
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
— Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?
— Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?
Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840). В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и других научных направлениях. [1]
Первые задачи вероятностного характера возникли в различных азартных играх — костях, картах и других азартных играх (см. рисунок 1).
Рисунок 1 – Азартные игры и теория вероятности
Французский каноник XIII века Ришар де Фурниваль правильно подсчитал все возможные суммы очков после броска трёх костей и указал число способов, которыми может получиться каждая из этих сумм. Это число способов можно рассматривать как первую числовую меру ожидаемого события, аналогичную вероятности. [1]
В XVII веке начало формироваться отчётливое представление о проблематике теории вероятностей и появились первые математические (комбинаторные) методы решения вероятностных задач. Основателями математической теории вероятностей стали Блез Паскаль и Пьер Ферма (см. рисунок 2).
Рисунок 2 – Блез Паскаль и Пьер Ферма
Блез Паскаль в своих трудах далеко продвинул применение комбинаторных методов, которые систематизировал в своей книге «Трактат об арифметическом треугольнике» (1665). Опираясь на вероятностный подход, Паскаль даже доказывал (в посмертно опубликованных заметках), что быть верующим выгоднее, чем атеистом.
На книгу Гюйгенса опирались появившиеся в начале XVIII века трактаты Пьера де Монмора «Опыт исследования азартных игр» (опубликован в 1708 и переиздан с дополнениями в 1713 году) и Якоба Бернулли «Искусство предположений» (опубликован уже после смерти учёного, в том же 1713 году). Последний имел для теории вероятностей особенно большое значение.
В XIX веке число работ по теории вероятностей продолжало расти, были даже компрометирующие науку попытки распространить её методы далеко за разумные пределы — например, на область морали, психологии, юриспруденции и даже богословия. В частности, валлийский философ Ричард Прайс, а следом за ним и Лаплас, считали возможным рассчитать по формулам Байеса вероятность предстоящего восхода Солнца, Пуассон пытался провести вероятностный анализ справедливости судебных приговоров и достоверности показаний свидетелей. Философ Дж. С. Милль в 1843 году, указав на подобные спекулятивные применения, назвал исчисление вероятностей «позором математики». Эта и другие оценки свидетельствовали о недостаточной строгости обоснования теории вероятностей.
Математический аппарат теории вероятностей тем временем продолжал совершенствоваться. Основной сферой её применения в тот период была математическая обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности, а также расчёты рисков в страховом деле и других статистических параметров.[2]
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Теория вероятности появилась как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат конкретные закономерности. Теория вероятности исследует данные закономерности.
Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.
Событием назовем всякий возможный факт, который
в результате опыта может произойти или не произойти.
Различают три вида событий:
1) невозможное – событие, которое в результате опыта
произойти не может;
2) достоверное – событие, которое в результате опыта
3) случайное – событие, которое в результате опыта
может произойти, а может не произойти.( Основное понятие теории вероятностей)
Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов:
P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных исходов, а m — количество благоприятных исходов.
Равновозможными называются события, имеющие одинаковую возможность для их появления. Полная группа событий – это совокупность единственно возможных событий при данном испытании.
Выпадение «орла» или «решки» при одном бросании монеты.
Два случайных события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий. Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. [3]
Пример № 1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение: Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна 1 − 0,19 = 0,81.
Вероятность достоверного события равна единице
Вероятность невозможного события равна нулю
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A)≤1
События называют независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события называют зависимыми.
Пример №2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.
События называют несовместными, если наступление одного из них исключает появление других событий в данном опыте. В противном случае события называют совместными.
Пример №3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.
Суммой (объединением) двух событий А и В называют событие, заключающееся в том, что происходит по крайней мере одно из событий А и В.
Теорема о сложении вероятностей.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: P(A + B) = P(A) + P(B)
Теорема о сложении вероятностей 2.
Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:
P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. Такие события используются при решении задач на полную вероятность.
Произведением (пересечением) событий А и В называют событие, заключающееся в том, что происходят оба события и А, и В.
Теорема об умножении вероятностей.
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле: P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Разберем подробно все виды задач по теории вероятности, которые могут встречаться в ЕГЭ.
Задача 1. На борту самолета 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Волков высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Волкову достанется удобное место, если всего в самолете 300 мест.
В самолете 12 + 18 = 30 мест, удобных для Волкова. Всего в самолете 300 мест. Пример такого места представлен на рисунке 3.
Рисунок 3 – Место в самолете с запасным выходом
Поэтому нам необходимо количество удобных мест для Волкова и таких же высоких пассажиров разделить на общее количество мест в самолете. Поэтому вероятность того, что пассажир Волков получит удобное мест, равна 30 : 300 = 0,1.
Задача 2. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы. Рассмотрим эти случайные события более подробно:
P (А) – чайник прослужит больше года, но меньше двух;
P (B) – чайник прослужит более двух лет;
P (C) – чайник прослужит ровно два года.
Так как эти три события несовместны (не могут произойти одновременно), то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей каждого из них:
Вероятность события A требуется найти по условию задачи. Вероятность события B дана и равна P(B)=0,87. Вероятность события C равна нулю, так как связана с тем, что чайник должен выйти из строя точно в определенный час, минуту, секунду и т.д. (можно продолжать сколько угодно до долей секунды). Сумма всех трех вероятностей равна 0,93, так как P(A+B+C) – это вероятность возникновения или события А, или события B, или события C.
Представим решение данной задачи графически (см. рисунок 4)
Рисунок 4 – События поломки электрического чайника
Проведем расчёт вероятности поломки электрического чайника:
Задача 3. Говорят, что в старину каждый десятый на Руси был Иван, в каждый двадцатый Петр. Если это верно, то кого было больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?
Подсчитаем вероятности двух событий:
Произведем расчет вероятности, что каждого мужчину зовут либо Иван, либо Петр – так как каждое случайное событие стремится к успешному выполнению, то числитель будет равен 1. Для этого:
P ( A )=1/10=0.1 – это вероятность первого случайного события.
P ( B )=1/20=0.05 – это вероятность второго случайного события.
Далее применяя теорему умножения вероятностей, произведем расчет. Вероятность быть Иваном Петровичем для жившего в старину россиянина равна: 0,1*0,05=0,005. Мы перемножили вероятности того, что наш древнерусский житель – Иван и что его отца зовут Петр. А вероятность оказаться Петром Ивановичем точно такая же: 0,05*0,1=0,005.
Ответ: 0,005 – это значит, что при смене комбинаций, количество мужчин с именами Иван и Петр одинаково.
Задача 4. Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй- два. Вероятность застрять с грузом снега при подъёме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25- для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?
Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 1-0,2 = 0,8. Для второго 1-0,25 = 0,75.
Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью 0,8* 0,75* 0,8*0,75*0,8 = 0,36*0,8 = 0,288 – в данном случае опять применятся формула умножения вероятностей, но при этом учитывается, что грузовик первый едет три раза, а второй два раза.
Задача 5. Мини-пекарня продает пирожки с мясом, однако в среднем 2 пирожка из 10 оказываются без мяса. Покупатель купил 2 пирожка. Найдите вероятность того, что, хотя бы в одном из них найдется мясо.
Для того, чтобы решить данную задачу необходимо нарисовать схему возможных исходов (см. рисунок 5):
Рисунок 5 – Возможные исходы при покупке двух пирожков
Благоприятные исходы в этой задаче – когда мясо будет только в первом пирожке, только во втором или в обоих. Не подходит только случай, когда оба пирожка окажутся без начинки – но для этого случая все равно вычисляем вероятность: 0,2*0,2 = 0,04.
После того, как вычислили случай без начинки, вычислим вероятность благоприятных исходов (что, хотя бы один из пирожков с мясом или в обоих случаях есть начинка): 1- 0,04 = 0,96.
Задача 6. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит, в период экономического роста равна 0,04, а в период экономического кризиса 0,2. Вероятность начала экономического кризиса оценивается в 0,45. Чему равна вероятность того, что клиент не вернет кредит?
Для того, чтобы решить данную задачу необходимо нарисовать схему возможных исходов (см. рисунок 6).
Рисунок 6 – Возможные исходы для клиента банка
По условию задачи, экономический кризис начнется с вероятностью 0,45. С вероятностью 0,55 будет экономический рост – это первый исход, вторым исходом будет связана конкретно с клиентом банка.
Вероятность того, что клиент не вернет кредит, равна 0,55*0,04+0,45*0,2=0.112. Для решения данной задачи воспользовались формулой суммой вероятностей и перемножением. Однако следует учесть те исходы, когда клиент при любом раскладе возвращает кредит – при экономическом кризисе – 0,96; при экономическом кризисе – 0,8. Но по условию задачи эти исходы нам не интересны, поэтому их мы в расчете не учитываем.
Задача 7. Склад оборудован двумя датчиками сигнализации различной конструкции, которые подают звуковой сигнал, если в помещение проникает посторонний. Вероятность выхода из строя в течение года для первого датчика равна 0,1 и второго 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы один датчик сигнализации останется исправным.
Для того, чтобы решить данную задачу необходимо нарисовать схему возможных исходов (см. рисунок 7).
Рисунок 7 – Возможные неблагоприятные исходы для датчика
Вероятность благоприятного исхода (хотя бы один датчик сработал) равна 1-0,02=0,98 – для этого следует учитывать, что два датчика не работают вообще.
Задача 8. По статистике, только 10% из тех, кто создаёт свой первый бизнес, достигают успеха. Из тех, кто вторично открывает свое дело, успеха достигают 90%. При этом только 8% из тех, у кого первый бизнес оказался неудачным, готовы стартовать еще раз. Найдите вероятность сознания успешного бизнеса с первой или второй попытки.
Для того, чтобы решить данную задачу необходимо нарисовать схему возможных исходов (см. рисунок 8).
Рисунок 8 – Благоприятные исходы
Задача 9. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
Для решения данной задачи, необходимо помнить, что Петя мог переложить 3 монеты в другой карман так, чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, следующими вариантами, представленные в таблице 1.