Положение каждого из автомобилей в любой момент времени можно задать двумя координатами. Выберем Землю в качестве тела отсчета. Направим координаты оси и вдоль дорог в направлении движения автомобилей (рис. 1.2.1). За начало координат выберем перекресток, за начало отсчета времени – момент пересечения перекрестка первым автомобилем. Уравнения движения автомобилей записываются в виде:
Расстояние между автомобилями в любой момент времени равно
Рисунок 1.2.1.
В качестве тела отсчета выберем второй автомобиль; направление координатных осей и и начало отсчета времени примем такими же, как и в первом способе решения задачи. В системе отсчета, связанной со вторым автомобилем, первый автомобиль движется со скоростью равной:
Эта скорость направлена под некоторым углом к прямой, соединяющей автомобили в начальный момент времени (рис. 1.2.2).
Рисунок 1.2.2.
Кратчайшее расстояние между автомобилями равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из начала координат, в котором находится второй автомобиль (точка ) на прямую, по которой движется первый автомобиль относительно второго.
В большинстве компьютерных вариантов заданий для каждого участника генерируются свои наборы данных
Задание 1 «С какой скоростью движется вторая машина относительно первой (4 балла)».
Для водителя первой машины скорость второй машины будет складываться из ее скорости относительно земли и скорости земли в системе отсчета первой машины:
Величина относительной скорости второй машины v 21 равна гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного скоростями машин относительно земли. По теореме Пифагора находим:
Заметим, если относительная скорость окажется направленной по линии, соединяющей машины, то продолжая двигаться с такими скоростями, они неминуемо столкнутся!
Задание 2 «Вычислите среднюю скорость движения человека (8 баллов)»
Времена t 1 и t 2 прохождения первой трети пути и остальных двух третей равны, соответственно
Учитывая, что t = t 1 + t 2 находим
Задание 3 «Найдите ускорение и путь автомобиля (8 баллов)»
Находим путь, пройденный на участке разгона:
Скорость при торможении машины меняется по формуле
убывая за время t 2 до v = 0. Подставляя нуль в правую часть уравнения (1), и выражая величину ускорения, получаем
Соответствующий путь составляет
Задание 4 «Вычислите максимальную высоту подъема тела, брошенного под углом к горизонту (8 баллов)»
Вычислите максимальную высоту подъема тела, брошенного под углом 30 SYMBOL 176 \f «Symbol» к горизонту со скоростью 2 0 м/с. Сопротивлением воздуха пренебрегите.
SYMBOL 97 \f «Symbol» = 30 SYMBOL 176 \f «Symbol»
Используя численные данные, находим:
Задание 5 «Модель: Измерьте скорость тележки (8 баллов)»
Задание: Измерьте с помощью оптических датчиков скорость тележки. Занесите результаты в отчёт (меню в верхней части программы) и отошлите отчёт на сервер. Стойки с датчиками расположите так, чтобы они фиксировали моменты прохождения тележки. Позицию датчиков можно менять мышью или с помощью пункта ввода. Конечный результат округляйте до сотых. Пример округления: 0,605 можно округлять до 0,60 или до 0,61.
Рис.1 Начальное состояние системы
Для измерения скорости следует установить стойки с датчиками, например, на позиции с координатами x 1 =0.2 м и x 2 =0.8 м и нажать кнопку “Пуск”. Тележка доедет до противоположной стенки и остановится, а на датчиках появятся показания (рис.2).
Рис.2 Конечное состояние системы
Скорость находим как отношение пути между x 2 и x 1 к затраченному времени t 2- t 1:
v =( x 2- x 1) /( t 2- t 1)
При этом пусть мы сначала ошибемся и напишем v = (0.8-0.2)/(2.5-0.278) м/с = 0.6/2.222 м/с = 0.270027 … м/ с
(вместо x 2=0.9 м написали x 2=0.8 м). Округляем до сотых: v =0.27 м/ с
Открываем пункт меню “Отчёт…” в верхней части программы, и в появившемся окне вводим это значение (рис.3):
Рис. 3 Отсылка отчёта
Нажимаем кнопку “Отправить результаты на сервер” и получаем отзыв с сервера с информацией о неправильном решении:
Рис.4 Результат проверки со стороны сервера
При нажатии кнопки “Закрыть” любая информация в окне отчета сохраняется и показывается вновь при открытии отчета. При нажатии кнопки “Очистить” восстанавливается первоначальное состояние окна отчета с пустыми пунктами ввода.
Мы можем нажать кнопку “Очистить”, затем кнопку “Закрыть”, проверить правильность наших действий и вычислений.
Например, заново проделать измерения при тех же или других расстояниях между датчиками. Обнаруживаем ошибку и исправляем ее :
v =( x 2- x 1) /( t 2- t 1) = (0.9-0.2)/(2.5-0.278) м/с = 0.7/2.222 м/с = 0.360036 … м/с
Открываем отчет, вводим ответ, отсылаем отчет на сервер и получаем:
Рис.5 Результат проверки нового результата
Итоговый балл за выполнение задания получился 7 из 8 возможных, так как имелась одна дополнительная попытка отсылки результатов на сервер.
Задание 7 «Модель: Измерьте среднюю и мгновенную скорость тележки (12 баллов)»
Задание: По наклонному рельсу из точки с координатой х=0 из состояния покоя начинает равноускоренно двигаться тележка. Определите время движения тележки до её удара о стенку, а также её среднюю и конечную скорость на отрезке от x=0 до x=0.5
Время определите с точностью до тысячных, а остальные величины до сотых, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр.
Оптические датчики срабатывают при пересечении светового луча датчика флажком тележки. Положение ворот с оптическими датчиками можно изменять при помощи мыши или задавая значения их координат х 1 и х2 при помощи клавиатуры.
На рис.6 показано начальное состояние системы.
Рис.6 Начальное состояние системы
Рис.7 Конечное состояние системы
Полное время движения равно t 2. Средняя скорость v ср движения на отрезке от x =0 м до x =0.5 м равна x 1/ t 1. Конечная скорость v 1 движения на этом отрезке в два раза больше, так как при равноускоренном движении v ср = ( v 0+ v 1)/2, а v 0=0. То есть v 1 проще вычислить чем измерить с достаточной точностью.
Два автомобиля движутся к перекрестку со скоростями v1 и v2 80 60
Два автомобиля движутся в одном и том же направлении со скоростями и относительно поверхности Земли. Скорость света c от фар первого автомобиля в системе отсчета, связанной с другим автомобилем, равна
1)
2)
3)
Согласно второму постулату специальной теории относительности, скорость света одинакова для всех инерциальных систем отсчета. Таким образом, скорость света от фар первого автомобиля в системе отсчета, связанной с другим автомобилем, равна c.
Представим: человек сидит на заднем сидении автобуса, автобус движется со скоростью 100 км/ч, человек начинает двигаться в направление кабины со скоростью 5 км/ч, тогда скорость человека относительно земли будет 105 км/ч.
Представим другую ситуацию: автобус движется со скоростью света, человек встает и начинает двигатся со скоростью 5 км/ч. Тогда получается, что скорость человека относительно земли будет- скорость света+ 5 км/ч.
Автобус не может двигаться со скоростью света. Вы просто не сможете его так разогнать. Это раз.
А во-вторых, привычный нам закон сложения скоростей перестает работать в этой области. Если Ваш гипотетический автобус движется со скоростью всего лишь на один километр в час меньше скорости света, а человек начинает двигаться по нему со скоростью 5 км/ч, то для наблюдателя на земле его скорость все равно будет меньше скорости света.
Правильная формула для закона сложения скоростей в релятивистском случае имеет вид:
.
Отсюда, кстати следует, что если , то и . То есть если пустить луч света в Вашем автобусе, то и наблюдателю в автобусе, и наблюдателю на земле будет казаться, что свет распространяется со скоростью
Два автомобиля движутся к перекрестку со скоростями v1 и v2 80 60
Два автомобиля движутся в одном и том же направлении со скоростями и относительно поверхности Земли. Скорость света c от фар первого автомобиля в системе отсчета, связанной с другим автомобилем, равна
1)
2)
3)
Согласно второму постулату специальной теории относительности, скорость света одинакова для всех инерциальных систем отсчета. Таким образом, скорость света от фар первого автомобиля в системе отсчета, связанной с другим автомобилем, равна c.
Представим: человек сидит на заднем сидении автобуса, автобус движется со скоростью 100 км/ч, человек начинает двигаться в направление кабины со скоростью 5 км/ч, тогда скорость человека относительно земли будет 105 км/ч.
Представим другую ситуацию: автобус движется со скоростью света, человек встает и начинает двигатся со скоростью 5 км/ч. Тогда получается, что скорость человека относительно земли будет- скорость света+ 5 км/ч.
Автобус не может двигаться со скоростью света. Вы просто не сможете его так разогнать. Это раз.
А во-вторых, привычный нам закон сложения скоростей перестает работать в этой области. Если Ваш гипотетический автобус движется со скоростью всего лишь на один километр в час меньше скорости света, а человек начинает двигаться по нему со скоростью 5 км/ч, то для наблюдателя на земле его скорость все равно будет меньше скорости света.
Правильная формула для закона сложения скоростей в релятивистском случае имеет вид:
.
Отсюда, кстати следует, что если , то и . То есть если пустить луч света в Вашем автобусе, то и наблюдателю в автобусе, и наблюдателю на земле будет казаться, что свет распространяется со скоростью
Задачи с решениями 
Задачи с решениями 
равной: 
и 
относительно поверхности Земли. Скорость света c от фар первого автомобиля в системе отсчета, связанной с другим автомобилем, равна
.
, то и 
. То есть если пустить луч света в Вашем автобусе, то и наблюдателю в автобусе, и наблюдателю на земле будет казаться, что свет распространяется со скоростью 